变化之中寻常规

不等式是高中数学及相关学科的重要工具，是高考必考内容，而不等式中的基本不等式又是高考的重点与热点，基本不等式的应用是考查的重点，包括利用基本不等式求解函数的最大（小）值问题和简单的证明问题.

一、 典例探究

（一） 利用基本不等式证明不等式

【例1】 已知a>0，b>0，a+b=1，求证：1+1a1+1b≥9.

证明 解法一：因为a>0，b>0，a+b=1，

所以1+1a=1+a+ba=2+ba.

同理1+1b=2+ab.

（利用1与a+b的关系，将1代换为a+b并化简）

所以1+1a1+1b=2+ba2+ab=5+2ba+ab≥5+4=9.

（结合式子特征，用基本不等式放缩）

所以1+1a1+1b≥9.（小结过程，呈现结论）

解法二：因为a,b为正数，a+b=1，

所以1+1a1+1b=1+1a+1b+1ab=1+a+bab+1ab=1+2ab，

（对不等号左侧展开化简，并将a+b代换为1）

又ab≤a+b22=14，于是1ab≥4，2ab≥8， （利用基本不等式放缩）

因此1+1a1+1b≥1+8=9.（小结过程，呈现结论）

点评 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项、并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．

（二） 利用基本不等式求最值

【例2】 已知x>1，则函数y=x+1x－1的最小值为

解 因为x>1，所以x－1>0，所以

y=x+1x－1=x－1+1x－1+1

≥2(x－1)1x－1+1=3，

当且仅当x－1=1x－1，即x=2时取“=”，所以函数的最小值为3，即本题答案为3.

变题1 已知t>0，则函数y=t2－4t+1t的最小值为．

解 t>0，y=t2－4t+1t=t+1t－4

≥2t•1t－4=－2.

当且仅当t=1t，即t=1时，取得等号，故本题答案为－2．

思考 若题中“t>0”改为“t≥2”呢？

点评 运用基本不等式求函数的最小值，需具备条件：各数(式)均为正，积为定值，等号能取得．

变题2 若对任意x>0，xx2+3x+1≤a恒成立，则a的取值范围是．

解 x>0，x+1x≥2(当且仅当x=1时取等号)，

xx2+3x+1=1x+1x+3≤12+3=15，即xx2+3x+1的最大值为15，故a≥15，故本题答案为15,+∞.

变题3 （1） 已知x>0，y>0，且

x+2y=1，求2x+1y的最小值.

（2） 已知x>0，y>0，且2x+1y=1，

求x+2y的最小值.

解 （1） x>0，y>0，且x+2y=1，

2x+1y=(x+2y)2x+1y

=4+4yx+xy≥4+24yx•xy=8，

当且仅当4yx=xy，即4y2=x2，x=2y时取等号，又x+2y=1，此时x=12,y=14，

2x+1ymin=8

（2） x>0，y>0，且2x+1y=1，

x+2y=(x+2y)2x+1y

=4+4yx+xy≥4+24yx•xy=8，

当且仅当4yx=xy，即4y2=x2，x=2y时取等号，又2x+1y=1，此时x=4，y=2，

(x+2y)min=8

点评 利用基本不等式求最值需注意的问题

(1) 各数(或式)均为正；

(2) 和或积为定值；

(3) 等号能否成立，即“一正、二定、三相等”这三个条件缺一不可．

若无明显“定值”，则用配凑的方法，使和为定值或积为定值．

当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法．

牛刀小试

1. 已知a>0，b>0，a+b=1，求证：1a+1b≥4.

2． 当x

3． 已知x>0,y>0，且x+y=1，求3x+4y的最小值.

4． 已知直角ABC中，周长为L（L为正的常数），求ABC面积S的最大值.

【参考答案】

1. a>0，b>0，a+b=1，

1a+1b=a+ba+a+bb=2+ba+ab

≥2+2ba•ab=4.

1a+1b≥4.(当且仅当a=b=12时等号成立).

2. x0，

f(x)=x+4x－3=(x－3)+4x－3+3

=

－43－x+(3－x)+3

≤

－243－x•(3－x)+3=－1，

当且仅当43－x=3－x，即x=1时等号成立，

f(x)的最大值为-1.

3. x>0,y>0,且x+y=1，3x+4y

=3x+4y(x+y)=7+3yx+4xy

≥7+23yx•4xy=7+43,

当且仅当3yx=4xy,x+y=1时等号成立，即x=23－3,y=4－23，

3x+4y的最小值为7+43.

4. 设直角ABC的两条直角边分别为a、b,斜边为c，

由题意知：a+b+c=L,a2+

b2=c2，a+b+a2+b2=L，

L=a+b+a2+b2≥2ab+2ab，

s=12ab≤3－224L2，当且仅当a=b=2－22L时等号成立.

面积S的最大值为3－224L2.