一题多变才是真

一、 基础梳理

1． 题组训练一

（1） 若A=－1,0,1,2,3，B=2,3,4，则A∩B=．

（2） 若A=x|－1

（3） 若A=x|－1

（4） 若A=x|－1

简答 (1) 2,3 （2） (2,3) （3） 2 （4） 3,+∞

点评 本题组是求两个集合的交集，表面上看起来没有区别，但试题的难度却在不断上升，并且都在应当掌握的范围内，其本质就是题（1）．

2． 题组训练二

（1） 若A=x|x2－2x－3

（2） 若A=x|x2－2x－3

（3） 若A=x|x2－2x－3

简答 （1） (2,3) （2） 2 （3） 3,+∞

点评 本题组在上一题组的基础上又有提高，除了会求两个集合的交集外，首先要会解一元二次不等式，通过本题组的训练，希望能根据集合交并补运算的意义，养成一题多变的好习惯，逐步实现多题归一的认知目标．训练时，可以随即将交集换成并集，或变化成补集，确确实实达到夯实基础的目的．

拓展延伸 设A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2－1=0},其中x∈R,如果A∩B=B，求实数a的取值范围．

解析 由A∩B=B得BA，而A=－4,0，Δ=4(a+1)2－4(a2－1)=8a+8

当Δ=8a+8

当Δ=8a+8=0，即a=－1时，B=0，符合BA；

当Δ=8a+8>0，即a>－1时，B中有两个元素，而BA=－4,0；

B=－4,0，得a=1．

实数a的取值范围为a=1或a≤－1．

点评 因为本题中集合A是含两个元素的集合，而BA，所以集合B可能是空集、含一个元素的集合、含两个元素的集合，正好与一元二次方程根的三种情况相吻合，值得注意的是B中只含一个元素时，这个元素必须是A中两个元素中的一个；当B中含两个元素时，这两个元素必须和A中两个元素完全一样．

思考 若将本题中的A∩B=B改为A∪B=B你能求出a的范围吗？

二、 方法归纳

【例1】 设M={x，y|y=2a2－x2，a>0}，N={x，y|(x－1)2+(y－3)2=a2，a>0}，求M∩N=时a的最大值和最小值．

解析 如右图，集合M表示以O(0，0)为圆心，半径r1=2a的上半圆，集合N表示以O′(1,3)为圆心，半径r2=a的圆.这两圆的半径随着a的变化而变化，但|OO′|=2.当两圆外切时，2a+a=2，a=22+1=22－2；当两圆内切时，2a－a=2，a=22+2．

a的最大值为22+2,a的最小值为22－2．

点评 M∩N=反映两个集合M，N所表示的两条曲线之间的关系，用数形结合的思想处理本问题恰恰到好处，直观、简单、明了、易懂．

【例2】 设函数y=x2+ax+b,A=x|y=x=a,M=a,b,求M．

解析 由A=a得x2+ax+b=x的两个根x1=x2=a，

即x2+(a－1)x+b=0的两个根

x1=x2=a，

x1+x2=1－a=2a,得a=13，

x1x2=b=19，集合M=13,19.

延伸 从集合U=a,b,c,d的子集中选出4个不同的子集，需同时满足以下两个条件：

（1） a,b都要选出；

（2） 对选出的任意两个子集A和B，必有AB或BA，那么共有种不同的选法．

简答 36

点评 （1） 集合作为一种数学语言，要求我们了解集合的含义，体会元素与集合的关系，理解集合间的关系；

（2） 空集与全集是特殊的集合，应引起重视，必要时要加以讨论；在题目中出现“至多”、“至少”等信息时，可考虑“正难则反”的补集思想.

（3） 根据近几年高考试题的分析及命题立意的发展变化，我们应运用好集合思想，把握问题的整体与共性，善于运用分类讨论、数形结合思想去解决有关问题，同时强化用集合的观点去理解问题、表达问题，解决问题.

牛刀小试

1． 若集合A=1,4,x,B=1,x2且A∩B=B，则x=．

2． 设集合A={x－3≤x≤2},B={x|2k－1≤x≤2k+1},且AB，则实数k的取值范围是．

3． 设集合A=a|a=n2+1，n∈Z，集合B=b|b=k2－4k+5，k∈Z，则集合A和B的关系是．

4． 若集合A=x|2x－1|

5． 已知集合M=－1,1，N=x12

6． 设P和Q是两个集合，定义集合P－Q=x|x∈P，且xQ，如果P={x|log2x

7. 若集合A=a,b,B=x|xA,M=A,求

BM．

8． 已知集合A=x|－2≤x≤a,B={y|y=2x+3,x∈A},C={z|z=x2,x∈A},且CB,求a的取值范围．

9． 全集S=1,3,x3+3x2+2x，A={1,2x－1}，如果

SA=0,则这样的实数x是否存在？若存在，求出x；若不存在，请说明理由．

10． 已知集合A={x|x≠2n或x≠3n,n∈N,1≤x≤100}，试求集合A的元素之和．

【参考答案】

1． 0或-2或2

2． －1≤k≤12 3． A=B

4． x－1

5． －1

6． x|0

7． xA,则x=,{a},{b},{a,b}，B={,{a},{b},{a,b}}

CBM=,a,b．

8． B=x|－1≤x≤2a+3，当－2≤a≤0时，C=x|a2≤x≤4，

而CB 则2a+3≥4,即a≥12,而－2≤a≤0,这是矛盾的；

当0

则2a+3≥4,即a≥12,即12≤a≤2；

当a>2时，C=x|0≤x≤a2，而CB，

则2a+3≥a2,即 2

9． 由

SA=0得0∈S，即S=1,3,0，A=1,3，

2x－1=3x3+3x2+2x=0，x=－1.

10． 设U=1,2,3……，则

uA={x|x=2n且x=3n,1≤n≤100}

={x|x=6n,x∈N,1≤n≤100},

于是集合A中元素之和

=(1+2+…+100)-（6+12+…+96）=4234．