全概率公式的教学研究

[摘要]全概率公式是概率论教学中的一个教学难点.使用全概率公式的关键是找到完备事件组，A1，A2…，An.本文将通过典型的例题，帮助学生认识到，完备事件组就是题目中所有的并列的原因构成的集合，并充分的利用这一点来解题.

[关键词]全概率公式 完备事件组 原因组

全概率公式是概率论中的基本公式，也是教学中的一个难点. 它将计算一个复杂事件的概率问题，转化为在不同原因下的简单事件的概率的求和问题.由于涉及全概率的题目多样而复杂，所以学生在学习这部分内容时，往往无从下手.事实上，只要帮助学生明确以下两个问题，自然会豁然开朗.

问题1：什么时候使用全概率公式？

问题2：如何使用全概率全概率公式？

我将通过下面的例题，来回答上面的问题.

例1：人们为了解一支股票未来一定时期内的价格变化，往往会去分析影响股票价格的因素，比如利率的变化.现假设人们经分析估计，利率下调的概率为60%，利率不变的概率为40%.根据经验，人们估计在利率下调的情况下，该支股票上涨的概率为80%，而在利率不变的情况下，其价格上涨的概率为40%，求该支股票将上涨的概率.

分析： 从公式的结构 可以看出，关键是寻找完备事件组，A1，A2…，An.虽然我们知道完备事件组具备两个特点：（1）两两互不相容；（2）和事件是样本空间.但是如何将这两点和实际问题有机的结合起来呢？这个纽带就是全概率公式中的完备事件组的另外一个身份，即，导致结果发生的所有并列的原因.简言之，完备事件组就是原因组. 其中，"所有"对应的含义就是"样本空间"，而"并列"对应的含义就是"两两互不相容".于是，我们便可以回答上面的两个问题.

什么时候使用全概率公式呢？当题目中提到几条并列的原因而问题却是求结果的概率时，往往可以使用全概率公式.该例提到了两个原因，一个是利率下调，另一个是利率不变.也就是两个并列的原因，而问题是求结果（股票上涨）的概率.所以，我们判断应使用全概率公式如图1.

既然明确了该例使用全概率公式，那么，接下来的问题就是如何使用全概率公式.只要将题目中的所有的并列的原因找到，就等于找到了完备事件组.不难发现，在该例中"利率下调"和"利率不变"，是导致"股票上涨"的所有的并列的原因（原因组），自然，构成完备事件组.设A1=”利率下调”，A2=”利率不变”，B=”该支股票价格上涨”，则 .所以，A1，A2的确构成完备事件组.

解：设A1=”利率下调”，A2=”利率不变”，B=”该支股票价格上涨”.

P（A1）=0.6，P（A2）=0.4，P（B＼A1）=0.8，P（B＼A2）=0.4，

由全概率公式得，P（B）=P（A1）P（B＼A1）+P（A2）P（B＼A2）=0.6×0.8+0.4×0.4=0.64

例2： 有三个罐子，1号装有2红1黑共3个球，2号装有3红1黑共4个球，3号装有2红2黑共4个球.某人从中随机取一罐，再从该罐中任意取出一球，求取得红球的概率.

分析：我们发现取得的红球是结果，而取得的红球可能来自于1号罐，也可能来自于2号罐，还有可能来自3号罐，也就是说，导致结果发生的原因有三个，即，”取自1号罐”，”取自2号罐”，”取自3号罐”.如图2.我们判断该题已知并列的原因，求结果的概率，所以，使用全概率公式. 而这三个原因两两互不相容，并且共同构成样本空间，也就是所有的并列的原因（原因组），即，完备事件组.设A1=”取自1号罐”，A2=”取自2号罐”，A3=”取自3号罐”，B=”取得红球”，则必有 ，所以，A1，A2，A3构成完备事件组.

解： 设A1=”取自1号罐”，A2=”取自2号罐”，A3=”取自3号罐”，B=”取得红球”.

则

由全概率公式得，

例3 设袋中装有10个球，其中2个带有中奖标志，两人先后从袋中任取一球，试问：

（1）第一人中奖的概率；

（2）第二人中奖的概率.

分析：易知第一人中奖的概率为 . 而第二人中奖与否，受到两个原因影响，一个是"第一人中奖"，另一个是"第一人未中奖".如图3.于是我们判断可以使用全概率公式解题.

设A1=”第一人中奖”，A2=”第一人未中奖”，B=”第二人中奖”，则 所以，A1，A2的确构成完备事件组.

（1）解：P（A1）= .

（2）解：设A1=”第一人中奖”，A2=”第一人未中奖”，B=”第二人中奖”

则

由全概率公式，

例3的结果显示，不论先后，第一人和第二人的中奖概率相同.也就是所谓的”抓阄原理”，抓阄不分先后，抓到好阄的概率一样.

从上面典型的例题，可以看出，是否能找到完备事件组是解题关键.而能够快速准确的找到完备事件组的钥匙就是成功找到所有的并列的原因（原因组）.

总之，全概率问题实际就是已知原因，求结果的问题.只要把握了原因就把握了"key"，问题也就随之迎刃而解了.

[参考文献]

[1]梁之舜，概率论概率论与数理统计，北京、高等教育出版社、1988.

[2]吴赣昌，概率论与数理统计，北京、中国人民大学出版社、2006.

（作者单位：西安翻译学院 陕西西安）