由“薄书”到“厚书”

摘 要： 能力本位教育作为一种现代教育理念，与传统的学科本位或知识本位教育有较大区别，它强调学生实际能力或职业能力的培养。在二次函数的教学中，本文作者运用能力本位理论进行了一次实践，在由易到难的教学实践中，培养了学生解决问题的能力，增强了他们解决实际生活中问题的信心。

关键词： 能力本位 “薄书” “厚书” 二次函数

实施素质教育，以培养学生的创新精神和实践能力为重点，其实质就是解决“高分低能”、“重知轻能”的问题，确立“能力为本”的观念。纵观社会和文化发展的趋势，现代的教育观和人才观已由重知识向重能力和素质转变。因此，是否重视能力的培养也是新旧教育观和人才观的根本区别。

我于2009年12月在学校内上了一堂公开课。由于当时我正担任初三数学教学，因此选定了二次函数这一部分的内容。然而以什么为这堂课的精髓却成了最大的难题，著名数学家华罗庚的名言“把厚书读薄，把薄书读厚”这句话给了我灵感。对于数学教师而言，所谓把“把厚书读薄”就是指用我们的劳动和智慧把繁杂知识中的精华部分汲取出来，做到高度概括，形成有效的、简单的、易懂的、适合学生学习的线索和方法；而所谓“把薄书读厚”就是指我们再把提炼的线索和方法和学生一起作一步的挖掘和发挥，做到收放自如，在原有的基础上有所突破。在这种思想的启发下，我决定以二次函数图像为载体，以“薄书”到“厚书”为基本思想，以最近中考的热点问题（由动点而引出的三角形周长和面积问题）为目标进行针对性教学。

二次函数是初中学习的重点和难点，考题分值占总分值的10％左右，由于二次函数知识对初中生而言难度较大，因此此类考点一般都以选择题、填空题的最后两题，或解答题的压轴题的形式出现，一般情况下，填空题和选择题主要考查二次函数的基础知识和基本解题技能。如二次函数的意义及其三种表示法、二次函数的图像与系数的关系等。解答题中的二次函数的考题综合性较强，考查的知识面广，主要考查方向有：（1）和实际生活相结合的最大（小）值问题；（2）结合动点计算几何图形的长度和面积的考题：（3）和其他函数相结合的考题；（4）其他类型。

我的教学过程如下。

由简单的题目引入，然后再逐步地深入。

“如图，一条抛物线交x轴于A（-1，0）和B（3，0），交y轴于C（0，3），问题1：求这个抛物线的解析式.”

这是一个很常规的问题，学生可以自己解决。

解析：已经知道与轴的交点，设其解析式为交点式：y=a（x+1）（x-3），代入（0，3），解得a=-1，

故解析式为y=-（x+1）（x-3）=-x+2x+3.

【这样设计的目的就是通过常见的（二次函数的图像）形成本节课的载体。】

其次，在原有的基础上，提高一点，“厚”一点。

“问题2：如图，P为此抛物线上一动点，当P的坐标是多少时，PCA的周长最小.”

这样的问题以前没有碰到过，所以学生感到有一点困难。我加以引导：因为A、B为定点，所以AB为定长，要使PCA的周长最小，只要PA+PB的和最小即可.有学生马上就反应到问题可转化为：在直线x=1上找一点P使PA+PB的和最小.

由此学生可以完成以下的过程：由抛物线的对称性知道点A关于直线x=1的对称点为点B，连接BC交直线x=1于点P，由B（3，0）和C（0，3）可得BC：y=-x+3，可求得P点坐标为（1，2），这样的P使得PCA的周长最小.

【这样的问题其目的有两个：其一，让现有的知识（抛物线的对称性）与以前的知识（轴对称变换）有交叉点；其二，为下面的题目所涉及的内容做必要的准备。】

更进一步，提出新的问题，再“厚”一点。

“问题3：如图，若这个抛物线的顶点为D，求S.”

我提醒学生重点在于解决问题方法的多样性上面而不在问题的结果上。经过一段时间的讨论，学生找出了不同的解决方法。总结如下：

方法1：由y=-x+2x+3配方得y=-（x-1）+4，所以其顶点为（1，4）.作DMx轴于M，抛物线对称轴为：直线x=1，所以M坐标为（1，0），

S=S-S=

S+S-S

=（3+4）×1+×2•4-×3×3=3

【此法朴实无华，干净利落。】

方法2：只看C（0，3）、D（1，4）、B（3，0）就可以了，用“矩形法”.过D作x轴的平行线，过B作y轴的平行线，形成矩形QOBP.

S=S-S-S-S

=3×4-×3×3-×1×1-×2×4=3

【此法简单易懂，并且具有代表性，对于坐标系任意三点形成的三角形面积均适用。】

方法3：作DMx轴于M且与BC交于N，由（2）可知N坐标为（1，2），则DN=2，

S=S+S=DN•OM+DN•BM=DN（OM+BM）=DN•OB=×2×3=3

【此法非常巧妙，足见这位学生在几何方面的基本功极为扎实。】

方法4：由D（1，4），B（3，0）可得直线BD：y=-2x+6，而BD与y轴交于H（0，6）.

S=S-S=×3×3-×3×1=3.

【此法紧紧“靠”着坐标轴做文章，很有味道，而且与上一种方法形成对比，一加一减，相得益彰。】

这几种方法各有千秋，充分表现了学生的聪明才智，发掘了学生的潜力，开拓了他们的视野。对此题的讨论过程也是学生与学生之间学习和帮助的过程。实际上，在我的本节课教学计划中，方法1和3是最重要的，对本节课的最终目标有着强烈的启发和暗示作用，而靠学生自己为后继学习打下了基础。

结合现在的流行的动点问题，我又设计了以下问题。

“如图，点E为线段OB上一动点，作EFOB交BC于F，交抛物线于G，当E的坐标是多少时，线段FG的长度最大，并求出其最大值是多少？”

很明显，这个问题与前面的问题都不相同，是一个动态的问题，学生解决起来有很大的困难，绝对不是学生之间互相讨论就可以解决的，这就需要我们去引导他们找对正确的切入点，并指出正确的方法。

我是这样引导学生的：首先，虽然EG是一个运动变化的，但我们要让它“安静”下来，也就是要找一个一般情况下的状态，把EG固定不动，这就是一个“动点静态”化；其次，在坐标系内，任何点―无论动点还是定点都可以用坐标去表示，区别在于动点是用字母表示，而定点是用常数表示，这就是一个“动点坐标化”；最后，在坐标系内的长度问题无非两种情况：对于平行与轴的线段就是“高减低（右减左）”；对于斜向的线段就是用勾股定理转化为横向的长度和纵向的长度，这就是个“长度减法化”。经过以上的分析，这样一个很“厚”的问题不再艰难。

（我与学生共同完成。）

第二步（坐标化）:由题目可知点E在x轴，点F在BC上，点G在抛物线上，并且它们的横坐标相同，所以设E点坐标为（t，0），t的范围是：0＜t＜3.那么相应的点F坐标为（t，-t+3），G点坐标为（t，-t+2t+3）；

第三步（减法化）：FG=（-t+2t+3）－（-t+3）=-t+3t=-（t-）+，明显FG与t的关系是二次函数，而a=-1，所以这个二次函数有最大值，那么当t=时，即E的坐标为，0时，FG有最大值.

【在这里，老师做了恰如其分的引导，给学生以明确的方向。老师也指出了解决这类问题的一般方法。】

最后一个问题，就是这节课的高潮部分，也是我这节课的最终目标。要让学生在原有的知识和能力上有所突破，要有大的飞跃。

“问题5：点H为抛物线在第一象限图像上一动点，连接CH、BH，当点H的坐标是多少时，BCH的面积最大，并求出其最大值是多少.”

这个问题已经到了学生能力的极限了，但前面有了几个问题的练习（量变），就应该而且必须突破极限（质变）。这时我就引导学生回头看，从前面的问题寻找方法（“问题3”和“问题4”），并且给他们充分的时间和自由分组讨论。

终于有3个小组解决了。由问题3的方法1联想:

做HMx轴于M，交BC于N，由问题3可知S=HN•OB=HN，

由问题4可得，设M为（t，0），N（t，-t+3），H（t，-t+2t+3），

那么HN=（-t+25+3）－（-t+3）=-t+3t.

S=（-t+3t）=-t+t=-（t-）+，因为a=-，所以BCH的面积有最大值.当t=时，即E的坐标为，0时，S的最大值为.

【至此，我的教学目标已经全部实现，层次递进，逐步深入，由学生独立完成最后一个问题，已经实现我的教学目标―由“薄书”到“厚书”。】

哈佛大学中流传着一句名言：“The one real object of education in to have a man is the condition for continually asking question.”（教育的真正目的就是让人不断提出问题思索问题。）我还想加上一句：“教育的真正目的还为了让人不断地解决问题。”

教学后记（反思）：1.由于时间上的限制我没有引导出最后一题的另一种解法，如下：设H（t，n），且n=-t+2t+3，S=S-S=S+S-S=（3+n）•t+（3-t）•n-×3×3=（3t+nt+3n-nt）-=（3t+3n）-=-t+t=

-（t-）+.不能说是一种遗憾，只有在以后的学习中加以弥补；

2.在整节课的进行中，由于是公开课，学生的情绪比较紧张，课堂气氛没有以前活跃，稍显沉闷；

3.这节课的难度比较大，不是每个学生都可以领悟的，还需要在后续学习中加以特别关注。

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文

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