利用题目的变形学习正弦函数的图象及性质

摘 要：三角函数的图象及性质是高中数学学习的一个重点，也是高考考查的一个热点。其图象及性质涵括：定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性、最值性、对称性等，其考察题型除了包含上述内容还包含三角函数图象的变换及画法等，内容多，容易混淆，为了解决学生在学习中所产生的困惑，笔者借助数学课本、三维设计一轮复习材料、步步高二轮复习材料及各地市的质检卷等资料，对相关的一些知识点及题型进行归类整理，汇编成一题多变性形式，让学生在题目的变形中思考、分辨、理解、掌握及灵活应用。

关键词：周期性；单调性；值域；最值；图象的变换；奇偶性

例题：已知函数f（x）=sin2x+■sinxcosx+2cos2x，x∈R

（1）化单函数（添加辅助角）。

解：f（x）=■+■sin2x+2・■=■sin2x+■cos2x+■=sin（2x+■）+■

【题后反思】学习三角函数的图象及性质，得先学会三角函数的恒等变形，只有恒等变形正确，接下来的求解才能正确。三角函数的恒等变形主要依靠的公式有：化单公式（添加辅助角）、两角和与差的三角函数、倍角公式、降幂公式等。

（2）求f（x）的最小正周期、振幅、频率、初相、相位。

解：最小正周期：T=■=π 振幅：A=1 频率：f=■=■

初相：■ 相位：2x+■

【题后反思】①y=Asin（wx+Φ）的最小正周期为T=■（注意：w指的是x前面的系数）如：y=2sin（2x+■）（w>0）的周期为π，则应得到的是T=■=π，而不是T=■=π②频率f为周期T的倒数，及f=■=■ ③振幅A=■

（3）求f（x）的单调递增区间。

解：令2kπ-■≤2x+■≤2kπ+■得2kπ-■≤2x≤2kπ+■

kπ-■≤x≤kπ+■（k∈Z）

f（x）的递增区间为[kπ-■，kπ+■]（k∈Z）

【题后反思】想做好这类题目，关键得熟记y=sinx的单调增减区间，可以通过正弦曲线先记y=sinx的一个增区间，如[-■，■]，再加上它的所有周期2kπ，得到y=sinx的增区间为[2kπ-■，2kπ+■]（k∈Z），类似，y=sinx的减区间也可如此记忆。

（4）求f（x）在（-π，0）上的单调递减区间。

解：令2kπ+■≤2x+■≤2kπ+■得2kπ+■≤2x≤2kπ+■

kπ+■≤x≤kπ+■（k∈Z） x∈（-π，0）

x∈（-■，-■） f（x）在（-π，0）的递减区间为（-■，

-■）

【题后反思】这类题目比（4）只是多了一步在f（x）的所有减区间中寻找满足x∈（-π，0）的区间而已，方法为对k赋值0，1，-1…等，再利用数轴求所有减区间与（-π，0）的交集。

（5）求f（x）的对称轴及对称中心。

解：令2x+■=kπ+■得 2x=kπ+■ x=■kπ+■（k∈Z）

f（x）的对称轴为x=■kπ+■（k∈Z）

令2x+■=kπ得 2x=kπ-■ x=■kπ-■（k∈Z）

f（x）的对称中心为（■kπ-■，■）（k∈Z）

【题后反思】①对称轴为直线，对称中心为点；②在求对称中心时，应注意图象有无向上或向下平移，以确定纵坐标。

（6）求f（x）的最大值及最小值，并求出f（x）取得最大及最小值时的x的取值集合。

解：令2x+■=2kπ+■得2x=2kπ+■ x=kπ+■（k∈Z）

当x的取值集合为{x|x=kπ+■，k∈Z}时，sin（2x+■）=1

■

令2x+■=2kπ-■得 2x=2kπ-■ x=kπ-■（k∈Z）

当x的取值集合为{x|x=kπ-■，k∈Z}时，sin（2x+■）=-1

■

（7）求f（x）在[-■，■）上的值域。

解：-■≤x

-■≤sin（2x+■）≤1 1≤sin（2x+■）+■≤■

f（x）在[-■，■）上的值域[1，■]

（8）已知函数y=f（x）+a在区间[0，■]上有最大值2，求a的值。

解：0≤x

■≤sin（2x+■）≤1 2≤sin（2x+■）+■≤■

2+a≤sin（2x+■）+■+a≤■+a

y=f（x）+a在[0，■]上的值域[2+a，■+a]

y=f（x）+a在区间[0，■]上有最大值2 ■+a=2 a=-■

【题后反思】（6）（7）（8）为一个类型的题目，求给定区间的值域或最值得先计算相位的取值范围，然后结合函数的图象看最高及最低点，寻找最大、最小值，借此再写出值域。

（9）该函数的图象可由y=sin2x的图象经过如何的变换得到？

解：y=sin2x

■

【题后反思】容易做错的便是由y=sin2x的图象变换成y=sin（2x+■）的图象，要注意系数的提取。

（10）将f（x）的图象向左平移m个单位（m>0）后，变成偶函数的图象，求m的最小值。

解：将y=sin（2x+■）+■向左平移m个单位（m>0），

得到y=sin[2（x+m）+■）]+■即y=sin[2x+（2m+■）]+■的图象

y=sin[2x+（2m+■）]+■为偶函数

2m+■=kπ+■（k∈Z） m=■kπ+■（k∈Z）

m>0 m的最小值为■

【题后反思】要注意y=sinx为奇函数，y=cosx为偶函数，奇偶性的变换最主要就是借助诱导公式实现函数名之间的相互转换。

（11）请画出函数f（x）在（0，π）的图象。

解：（一）列表

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（二）描点、连线

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【题后反思】（1）填写表格时应注意表格中的第一行及第二行为等差数列；（2）连线时应注意曲线的平滑，别画出尖角。

（作者单位 福建省南安第一中学）