如何讲好时域取样定理

摘要：时域取样定理是“信号与系统”和“数字信号处理”等课程的重要内容，但是，目前高等院校普遍使用的国内外经典教材对这部分内容论述不够清晰，没有证明连续时间信号与离散时间信号频谱的关系，尤其是引入了理想冲激取样过程，物理意义不明确，影响了学生理解。本文对时域取样定理进行了深入的思考，提出了两种讲解思路，教学实践表明，对增强学生对该内容的理解，提高授课质量，有较强的针对性。

关键词：时域取样定理；理想冲激取样；课程改革

中图分类号：G642.4 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2013）18-0188-03

How to Explain the Sampling Theorem in Time Logically

Liu Jianbao，Qin Xinxin，Ouyang Hua

Naval University of Engineering，Wuhan，China

Abstract：The sampling theorem in time is very important in the courses of Signals and Systems and Digital Signal Processing.But it has not been explained logically in the books which have been used widely in colleges and universities，and the relationship between the spectrum in frequency domain of continuous-time signal and that of discrete-time signal has not been proved， especially the physical meanings of impulse-train sampling are illogical.So some students have difficult in comprehending the sampling theorem.Two methods have been used in teaching practices which are proposed in this paper，the efficiency testifies that the methods are beneficial to improve teaching effect.

Keywords：sampling theorem in time；impulse-train sampling；teaching reform

一、引言

“信号与系统”和“数字信号处理”课程是自动化、电子信息通信及计算机等专业本科生重要的基础课，其基本的分析方法和系统原理广泛应用于信号与信息处理、通信及电路与系统、计算机处理等领域，是一门理论性和应用性极强的课程，也是电子、信息、自动化等专业的必修课程之一，其教学质量的好坏将涉及到能否为后续专业课程打好基础的问题。Nyquist时域取样定理是“信号与系统”和“数字信号处理”等课程的重要内容，是联系连续时间信号和离散时间信号的纽带，如何有效地增强学生对该内容的理解，提高教学质量，值得广大高等院校教师进行深入思考和教学实践。

二、现状

目前，高等院校开设“信号与系统”课程所使用的经典教材主要有吴大正主编的《信号与线性系统分析》[1]、奥本海姆AV等著的《信号与系统》[2]、郑君里等编著的《信号与系统》等，[3]“数字信号处理”课程普遍使用的经典教材包括：程佩清编著的《数字信号处理教程》[4]、尹为民等编的《数字信号处理》[5]、奥本海姆AV等著，董士嘉译的《数字信号处理》[6]等，均涉及了时域取样定理，内容是一致的，比如在程佩清编著的《数字信号处理教程》[4]中时域取样定理是这样论述的：若xa（t）是频带宽度有限的，要想抽样后x（n）=xa（nt）能够不失真地还原出原信号xa（t），则抽样频率必须大于或等于两倍信号谱的最高频率。可以说，时域取样定理在连续时间信号与离散时间信号之间架起了一座桥梁，为连续时间信号与离散时间信号的相互转换提供了理论依据。但是，几乎所有教材在推导时域取样定理过程中，普遍存在以下两个问题：

（一）没有证明连续时间信号xa（t）与离散时间信号x（n）=xa（nT）的频域关系

大部分教材只是对连续时间信号xa（t）和它的“所谓”的取样数据信号■a（t）的频域关系进行了分析，请注意，这里的取样数据信号■（t）仍然是连续时间信号，图1所示为教材上表示的连续时间信号的取样过程，而没有证明时域取样定理论述的连续时间信号xa（t）和离散时间信号x（n）=xa（nt）的频域关系。因此，推导得到的结论：取样数据信号■a（t）的频谱是原连续时间信号xa（t）频谱的周期延拓，无法证明时域取样定理的正确性。

（二）理想取样过程物理意义不清晰

连续时间信号的取样是由取样器（实际中为A/D转换器）来完成的。取样器相当于一个电子开关，每隔T秒闭合一次，并对该时刻电子开关输出值进行编码，得到原连续时间信号xa（t）在nT时刻的样本值，图2所示为实际中连续时间信号的取样。

可以看出，图1（a）所示的自然取样过程，并不能完整地表示连续时间信号转换为离散时间信号的过程。图1（b）所示的理想取样过程也不是电子开关闭合时间为无穷短时，自然取样的一种理想逼近，因为矩形脉冲序列p（t）的幅值一直为1，矩形脉冲宽度趋近无穷小时，矩形脉冲的面积也趋近无穷小，而不是为1，因此，不能用冲激函数序列δT（t）去逼近矩形脉冲序列p（t）。基于以上理由，可以说明图1（b）所示的理想取样过程是不存在的，没有任何物理意义可言。

三、如何讲好时域取样定理

（一）连续时间信号离散化过程

讲好时域取样定理，首先要介绍连续时间信号转换为离散时间信号的过程。

连续时间信号的时域离散化处理的一个关键设备是A/D变换器，实际的A/D转换器如下图所示。

取样保持器件（S/H）的功能是将模拟信号转换为阶梯形信号xT（t），编码器的功能是将阶梯信号进行编码，转换为离散时间信号x（n）。图4为连续时间信号转换为离散时间信号的过程。

（二）时域取样定理的推导

讲好时域取样定理，关键是要分析连续时间信号与取样得到的离散时间信号的关系。

取样过程的时域关系为x（n）=xa（nT），关键是分析原连续时间信号xa（t）的频谱Xa（j？赘）与离散时间信号x（n）的频谱X（ej？棕）的关系。本文提出了两种思路：

思路一：直接法推导

根据傅里叶变换和离散傅里叶变换定义，有

xa（t）=■■Xa（j？赘）ej？赘td？赘 （1）

x（n）=■■X（ej？棕）ej？棕nd？棕 （2）

将取样过程的时域关系x（n）=xa（nT）带入（1）式，有

x（n）=■■Xa（j？赘）ej？赘nTd？赘 （3）

比较（2）式、（3）式，可得

■Xa（j？赘）ej？赘nTd？赘=■X（ej？棕）ej？棕nd？棕

将模拟角频率？赘和数字角频率？棕的关系？棕=？赘T带入上式，得

■■Xaj■ej？棕nd？棕=■X（ej？棕）ej？棕nd？棕 （4）

为了分析Xa（j？赘）和X（ej？棕）关系，等式左右两端的积分区间应一致，因此，将等式左端的积分区间分段

■■Xaj■ej？棕nd？棕=■■■Xaj■ej？棕nd？棕 （5）

令？棕？棕+2rπ，并交换累加、积分次序有

■■Xaj■ej？棕nd？棕

=■■■Xaj■ej？棕nd？棕 （6）

对比式（4）、式（6），得到原连续时间信号xa（t）的频谱Xa（j？赘）与离散时间信号的频谱的关系为

X（ej？棕）=■■Xaj？赘+j■

即离散时间信号的频谱是连续时间信号频谱的周期延拓，周期是取样角频率？赘s=2π/T，幅度受？赘s=1/T加权。由于T是常数，所有除了一个常数因子外，每一个延拓的谱分量都和原频谱相同。因此，只要各延拓分量与原频谱分量不发生频率上的重叠，则可以恢复出原信号，时域取样定理得证。

思路二：间接法推导

教材中已经讲解了连续时间信号xa（t）和它的取样数据信号■a（t）=xa（t）δT（t）的频域关系为

■a（j？赘）=■■Xa（j？赘-jk？赘s） （7）

通过频谱的比较，证明■a（t）=xa（t）δT（t）所含信息量与离散时间信号x（n）=xa（nt）是等价的，证明如下：

■a（t）=xa（t）δT（t）的傅里叶变换，即频谱为

■a（j？赘）=■xa（t）δT（t）ej？赘Tdt

=■■xa（nT）δ（t-nT）ej？赘Tdt

=■xa（nT）ej？赘nT （8）

x（n）=xa（nt）的离散傅里叶变换，即频谱为

Xa（ej？棕）=δ■x（n）ej？棕n=■xa（nT）ej？棕n （9）

考虑到模拟角频率？赘和数字角频率？棕的关系？棕=？赘T，对照（8）、（9）有■a（j？赘）=X（ej？棕） （10）

证明了信号■a（t）=xa（t）δT（t）含有信息量与x（n）=xa（nt）是等价的。

将式（10）带入式（7），可以得到原连续时间信号xa（t）的频谱Xa（j？赘）与离散时间信号x（n）的频谱X（ej？棕）的关系为

X（ej？棕）=■■Xa（j？赘-jk？赘s）

令k=-r，得到的结论与直接法一致。

四、结束语

本文针对目前高等院校普遍开设的“信号与系统”和“数字信号处理”课程，国内外经典教材对时域取样定理的内容论述不够清晰、理想冲激取样过程物理意义不明确的问题，对时域取样定理进行了深入的思考，提出了直接法和间接法两种讲解思路，教学实践表明，对增强学生对该内容的理解，提高授课质量，有较强的针对性。

参考文献：

[1]吴大正.信号与线性系统分析第四版[M].北京：高等教育出版社，2005.

[2]奥本海姆AV.信号与系统（英文版）第二版[M].北京：电子工业出版社，2009.

[3]郑君里，应启珩，杨为理.信号与系统第三版[M].北京：高等教育出版社，2011.

[4]程佩清.数字信号处理教程第三版[M].北京：清华大学出版社，2007.

[5]尹为民，欧阳华，钱美.数字信号处理[M].北京：机械工业出版社，2011.

[6]奥本海姆AV.数字信号处理[M].董士嘉，译.北京：科学出版社，1975.

作者简介：刘建宝（1978-）：男，讲师，博士研究生，研究方向：检测技术及自动化、电力电子与电力传动。