风险投资及高额赔偿下有限时间破产概率

1引言和模型

我们考虑连续时间更新模型。设索赔额{Xk，k≥1}为独立同分布的非负随机变量，具有共同分布F和有限的期望。索赔时间间隔{Yi，i≥1}也是独立同分布的非负随机变量序列，共同分布为G，并且与{Xk，k≥1}相互独立。在时间段［0，t］中到来的索赔次数记为N(t)=sup{k=1，2，…，τk≤t}，t≥0。其中，τk=∑ni=1Yi称为索赔时刻(sup=0)。显然{N(t)，t≥0}为更新过程，到时刻t为止的总索赔额可表示为随机过程St=∑N(t)k=1Xk。如果允许保险公司拿出一部分盈余投资Black-Scholes型资本市场指数，假设该指数的价格过程由几何布朗运动驱动，则该公司的盈余过程{Ut，t≥0}便可以用如下的随机微分方程描述:dUt=cdt－dSt+θUt(μdt+σdWt)(1)式(1)中c为常数，μ＞0和σ＞0是两个已知参数，W={Wt，t≥0}是标准的布朗运动与{Xk，k=1，2，…}和{N(t)，t≥0}相互独立，θ∈［0，1］表示公司盈余中用于风险投资的比例。如果保险公司的初始余额U0=u＞0，令μ'=μθ－σ2θ2/2，σ'=σθ，根据It^o公式得随机微分方程(1)的解如下:Ut=exp{μ't+σ'Wt}［u+c∫t0exp{－μ'v－σ'Wv}×dv－∑N(t)k=1Xkexp{－μ'τk－σ'Wτk}］(2)这个模型的破产时刻定义为ζ(u)=inf{t＞0:U(t)＜0|U(0)=u}(3)约定按常规inf=∞。因此有限时间T＞0内破产概率定义为ψ(u，T)=P(ζ(u)≤T)或ψ(u，T)=P(Ut＜0，0＜t≤T|U0=u)(4)

目前，对于连续时间或离散时间更新风险模型下的有限时间或无限时间破产概率问题，国内外很多学者都已经着手研究过并取得一些成就。例如JosteinPaulsen［1］、Asmussen［2］、TangQ［3］和Stand-ford［4］等，同时对于带有投资和大额索赔情形下风险模型的研究如文献［5—10］。本文主要研究在大额重尾索赔情形下的更新风险模型(2)的渐近行为。把文献［11］的工作从索赔额分布属于推广的正则变化分布推广到L∩D族，并考虑在有限时间下，从而得到一个改善的渐近形式。

2定义与引理

从现在开始，除非特别说明，所有的极限过程均是指u∞。对于两个正函数f(?)和g(?)，如果limf(u)/g(u)=1，记为f(u)～g(u);如果limf(u)/g(u)=0，记为f(u)=o(g(u));如果limf(u)/g(u)＜∞，记为f(u)=O(g(u))。对非负随机变量X，记F(u)=P(X≤u)。设F是以［0，∞)为支撑。首先我们给出最常见的重尾分布族(文献［12］)的定义:

定义2.1如果对任何的l＞0都有limu∞F(u+l)F(u)=1，则称F属于L族，记为F∈L。上述定义等价于其中的上极限对某个l＞0成立。

定义2.2如果对任何0＜c＜1，都有limu∞supF(cu)F(u)＜∞，则称F属于D族，记为F∈D。上述定义等价于其中的上极限对某个0＜c＜1成立。

定义2.3如果对某个α＞0和任何y＞0，都有limu∞F(uy)F(u)=y－α，则称F属于R－α族，记为F∈R－α。这些重尾族有如下的性质:R－αL∩DL。

命题2.4设{N(t)，t≥0}为一更新过程，则第n个更新发生的时刻τn的分布G就是自身的n次卷积，记作Gn*(t)。以m(t)表示对应的更新函数，则有［13］m(t)=EN(t)=∑∞n=1P(τn≤t)=∑∞n=1Gn*(t)(5)

引理2.5设{Xk，1≤k≤n}是一列独立同分布的随机变量序列，具有共同分布为且FS。{θk，1≤k≤n}为一列正的随机变量序列，满足对某个0＜a≤b＜∞及所有的1≤k≤n有P(a≤θk≤b)=1，并且这两个序列之间相互独立，则［14］P(∑nk=1θkXk＞u)～∑nk=1P(θkXk＞u)(6)

引理2.6考虑更新风险模型，引入独立同分布的随机变量序列{Yk，k=1，2，…}。Yk=exp{－μ'(τk－τk－1)－σ'(Wk－Wk－1)};k=1，2，…(7)Yk，k=2，3，…均和Y1=exp{－μ'τ1－σ'W1}同分布［11］。

引理2.7设r＞0且σR≠0，WR是一个标准的布朗运动且与随机过程St=∑N(t)k=1Xk相互独立，则有∫∞0exp{－(rt+σRWR，t)}dt=d1H。(8)这里H～Γ(2r/σR2，σR2/2)，故而H可积［15］。

引理2.8设随机变量X与Y相互独立，分布分别为F和G，将乘积XY的分布记作H，我们有［16］:(1)如果F∈L且G不退化到0，对于任意给定的a＞0，成立limu∞G(u/a)H(u)=0，那么H∈L。(2)若F∈D，Y有界非退化于0，则H∈D。

引理2.9设分布F∈D，则存在0＜uF＜∞，使得对任何v＞uF，都有［13］u－v=o(F(u))。引理2.10设{Xn，n≥1}为独立同分布的非负随机变量序列［9］，具有有限的数学期望μ=EX1.记Sn=∑nk=1Xk，则对任意的v＞0和u＞0，有P(Sn＞u)≤nPX1＞u()v+eμn()uv。

3主要结果定理

3.1在更新模型

(2)中，令LN(y;a，b2)表示参数为a和b2的对数正态分布.如果F∈L∩D，直到时刻T的有限时间破产概率满足ψ(u，T)～∫T0∫max0＜t≤Texp{μ't+σ'Wt}0F(uy)dLN(y;μ't，σ'2t)dm(t)(9)4证明因为exp{μ't+σ'Wt}0，所以由定义出发得式(4)等价于ψ(u，T)=P(u+c∫t0exp{－μ'v－σ'Wv}dv－∑N(t)k=1Xkexp{－μ'τk－σ'Wτk}＜0;0＜t≤T)(10)记C(t)=c∫t0exp{－μ'v－σ'Wv}dv，珘X(t)=∑N(t)k=1Xkexp{－μ'τk－σ'Wτk}。显然对于每一个t∈(0，T］，由式(2)得u－珘X(T)≤Utexp{μ't+σ'Wt}≤u+C(T)－珘X(t)(11)由等式(10)及式(11)的第一个不等式，显然有ψ(u，T)≤P(珘X(T)＞u)(12)而由等式(10)及式(11)的第二个不等式，有ψ(u，T)≥P(max0＜t≤T珘X(t)＞u+C(T))≥P(珘X(T)＞u+C(T))(13)先考虑有限时间破产概率的上界，由式(6)、式(7)和式(12)得P(珘X(T)＞u)=P(∑N(T)k=1Xk∏ki=1Yi＞u)=∑∞n=1P(∑nk=1Xkexp{－μ'τk－σ'Wτk}＞u|N(T)=n)P(N(T)=n)=(∑Nn=1+∑∞n=N+1)P(∑nk=1Xkexp{－μ'τk－σ'Wτk}＞u|N(T)=n)P(N(T)=n):=I1(u，T，N)+I2(u，T，N)(14)由于{Xk，k≥1}和{N(t)，t≥0}独立，所以对任何n≥1，在给定N(T)=n的条件下，索赔额序列{Xk，1≤k≤n}与索赔来到时刻{τk，1≤k≤n}独立。又注意到对每个1≤k≤n，都有exp{－μ'τk－σ'Wτk}∈［min0＜t≤Texp{－μ't－σ'Wt，1］。记Zk=exp{－μ'τk－σ'Wτk}，故由引理2.5得P(∑nk=1XkZk＞u|N(T)=n)～∑nk=1P(XkZk＞u|N(T)=n)(15)于是I1(u，T，N)～∑Nn=1∑nk=1P(XkZk＞u|N(T)=n)P(N(T)=n)=∑Nn=1∑nk=1P(XkZk＞u，N(T)=n)(16)从而limN∞limu∞I1(u，T，N)∑∞l=1P(Xlexp{－μ'τl－σ'Wτl}＞u，τl≤T)=limN∞limu∞∑Nn=1∑nk=1P(XkZk＞u，N(T)=n)∑∞l=1P(XlZl＞u，τl≤T)=limN∞∑Nn=1limu∞∑nk=1P(XkZk＞u，N(T)=n)∑∞l=1P(XlZl＞u，τl≤T)=∑∞n=1limu∞∑nk=1P(XkZk＞u，N(T)=n)∑∞l=1P(XlZl＞u，τl≤T)(17)下面证明式(17)中交换极限与求和顺序的合法性。

由命题2.4得:∑∞k=1P(XkZk＞u，τk≤T)=∑∞k=1∫T0P(X1exp{－μ't－σ'Wt}＞u)dGk*(t)=∫T0P(X1exp{－μ't－σ'Wt}＞u)d∑∞k=1Gk*(t)=∫T0P(X1exp{－μ't－σ'Wt}＞u)dm(t)(18)X的分布属于L∩D族，故由D族的定义，知存在常数M0和M1，使得:supu＞0F(u)F(M1u)＜M0.其中M1=max0＜t≤Texp{μ't+σ'W}。又P(X1＞M1u)≤P(X1＞u)。而{Xk，k≥1}和{N(t)，t≥0}独立，于是有∑nk=1P(XkZk＞u，N(T)=n)≤∑nk=1P(Xk＞u，N(T)=n)=∑nk=1P(Xk＞u)P(N(T)=n)=∑nk=1P(X1＞u，)P(N(T)=n)=P(X1＞u，)nP(N(T)=n)。从而再由式(18)知对一切u＞0，都有∑nk=1P(XkZk＞u，N(T)=n)∑∞l=1P(XlZl＞u，τl≤T)≤P(X1＞u)nP(N(T)=n)∫T0P(X1exp{－μ't－σ'Wt}＞u)dm(t)≤P(X1＞u，)nP(N(T)=n)P(X1＞M1u)m(T)≤M0nP(N(T)=n)m(T)。而∑∞n=1nP(N(T)=n)m(T)=1，故由控制收敛定理知式(17)中极限与求和交换是合法的，即limu∞∑∞n=1∑nk=1P(XkZk＞u，N(T)=n)∑∞l=1P(XlZl＞u，τl≤T)=∑∞n=1limu∞∑nk=1P(XkZk＞u，N(T)=n)∑∞l=1P(XlZl＞u，τl≤T)(19)又知{N(t)≥n}{τn≤t}，所以∑∞n=1∑nk=1P(XkZk＞u，N(T)=n)=∑∞k=1∑nn=kP(XkZk＞u，N(T)=n)=∑∞k=1P(XkZk＞u，N(T)≥k)=∑∞k=1P(XkZk＞u，τk≤T)(20)这样式(19)右边就恒等于1，于是再结合式(17)、式(18)得limN∞limu∞I1(u，T，N)∫T0P(X1exp{－μ't－σ'Wt}＞u)dm(t)=1(21)下面来考察I2(u，T，N)，我们有I2(u，T，N)=∑∞n=N+1P(∑nk=1XkZk＞u|N(T)=n)(N(T)=n)≤∑∞n=N+1P(∑nk=1Xk＞u|N(T)=n)(N(T)=n)=∑∞n=N+1P(∑nk=1Xk＞u)(N(T)=n)(22)因F∈L∩D，故对v＞JF+≥1，由引理2.9知，只要u充分大，就有u－v≤F(u)。以下我们用c(v)表示只与v有关的正的常数。即使在同一式中出现，其值也不一定相同。由D族定义知存在c(v)，使得F(u/v)≤c(v)F(u)，结合引理2.10得，对充分大的u，有P(∑nk=1Xk＞u)≤nPX＞u()v+eEX1n()uv≤c(v)nF(u)+c(v)nvF(u)≤c(v)M0P(X＞M1u)(n+nv)。将上式代入式(22)有I2(u，T，N)≤c(v)M0P(X＞M1u)(∑∞n=N+1nP(N(T)=n)+∑∞n=N+1nvP(N(T)=n))=c(v)M0P(X＞M1u)(EN(T)×I(N(T)＞N)+EN(T)vI(N(T)＞N))。众所周知，对于更新过程N(T)，我们有［17］ENn(t)＜∞，t∈［0，∞)，n＞0。所以当N∞时，有ENv(T)I(N(T)＞N))0，v≥1。

从而有上式再连同式(21)和式(15)即得到P(珘X(T))～∫T0P(X1exp{－μ't－σ'Wt}＞u)dm(t)=∫T0∫max0＜t≤Texp{μ't+σ'Wt}0F(uy)dLN(y;μ't，σ'2t)dm(t)(23)下面证有限时间破产概率的下界P(珘X(T)＞u+C(T))～P(珘X(T)＞u)(24)事实上，索赔额分布F∈L∩D且H非退化于0，由引理2.8知珘X(T)是长尾的。由引理2.7知，存在M＞0，有C(T)≤M，根据L族定义，使得limu∞P(珘X(T)＞u+C(T))P(珘X(T)＞u)=limu∞P(珘X(T)＞u+M)P(珘X(T)＞u)=1。

结合式(24)和式(23)所以定理3.1得证。