二次函数图象的位置与系数之是的关系

对于抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），其函数图象的位置与系数之间有如下关系：

（1）a>0?圳抛物线开口向上，a

（2）a、b同号?圳对称轴在y轴的左侧，a、b异号?圳对称轴在y轴的右侧；

（3）c>0?圳抛物线交y轴于正半轴，c

（4）>0?圳抛物线与x轴有两个交点，＝0?圳抛物线与x轴有一个交点，＜0?圳抛物线与x轴没有交点；

（5）a+b+c的值的正负号，由x=1时y的正负号确定；

（6）a-b+c的值的正负号，由x=-1时y的正负号确定.

下面举例说明这些关系的应用.

例1（徐州市中考试题）函数y=ax２＋a与y=（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是图1中的（ ）.

分析：在A中，由反比例函数图象有a＞0，而二次函数的图象过原点，则a＝0，矛盾，排除；在B中，由反比例函数图象有a＞0，而由二次函数的图象有a＜0，矛盾，排除；在C中，由反比例函数图象有a＞0，而二次函数的图象交y轴于负半轴，则a＜0，矛盾，排除；所以应选D.

例2（淮安市中考试题）已知直线y=ax+b（a≠0）不经过第二象限，则抛物线y=ax2+bx的图象一定经过（ ）.

A.第一、二、四象限 B. 第一、二、三象限

C. 第一、二象限 D. 第三、四象限

分析：由于直线y=ax+b（a≠0）不经过第二象限，所以a＞0，b≤0.当b

=0时，抛物线一定过一、二象限；当b＜0时，抛物线顶点坐标为－，，因为－＞0，＜0，所以抛物线顶点在第四象限，且该抛物线必过原点，又由a、b异号知，抛物线的对称轴在y轴的右侧，所以抛物线过一、二、四象限.综上所述，图象必定经过的象限为第一、二象限，选C.

例3（随州市中考试题）已知二次函数y=ax2+bx＋c的图象如图2所示，且OA=OC，则由抛物线的特征写出如下含有a、b、c三个字母的等式或不等式：① =-1；②ac+b+1

=0；③abc＞0；④a-b+c＞０.其中正确结论的序号是.（把你认为正确的都填上）

解：这里a>0，c

例4（绍兴市中考试题）已知抛物线y=x2＋（m+1）x-m2-1（m为实数）.

（1）若该抛物线的对称轴在y轴的右侧，求m的取值范围；

（2）设A、B两点分别是该抛物线与x轴、y轴的交点，OA=OB（O是坐标原点），求m的值.

分析：（1）由于抛物线的对称轴在y轴的右侧，所以a、b异号，即ab＜0，又a＝1＞0，所以b

解：（1）由于抛物线的对称轴在y轴的右侧，所以a、b异号，即ab＜0，又a＝1＞0，所以b

（2）常数项c=-（m2+1）

B0，-m2-1，OA=OB，故点A的坐标为-m2-1，０或m2＋1，０，将点A的坐标分别代入解析式，可解得m=±2.

练习题

1 .二次函数y=ax2+bx+c（a≠０）的图象如图3所示，则下列结论：①a＞0；②c＞0；③b2-4ac＞0.其中正确的个数是( ).

A.0个B.1个

C. 2个D.3个

2．如图4，二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，图象经过点（-1，2）和（1，0），且与y轴相交于负半轴．

(1)：给出四个结论：①a＞0；②b＞0；③c＞0；④a+b

+c=0．其中正确结论的序号是；

(2)：给出四个结论：①abc＜0；②２a+b＞０；③a+c=1；④a＞1．其中正确结论的序号是.

参考答案

1．C；

2.（1）①④；

（2）②③④.