空间滤波测速的发展及滤波效应研究

摘要：本文从数学角度对空间滤波测速的空间滤波效应进行了分析。介绍了空间滤波测速的基本原理，通过研究相对空间频率的功率谱密度函数，从数学角度对图像光强分布的空间滤波效应进行了分析，给出了空间滤波测速的数学解释。空间滤波效应的数学分析对于研究空间滤波器的滤波特性及图像强度的空间分布，从而提高信号质量和测量精度具有较强的指导意义。

关键词：空间滤波测速 滤波效应 功率谱密度函数

中图分类号：V475 文献标识码：A 文章编号：1007-9416（2013）10-0078-03

1 引言

20世纪60年代，随着光学与电子学的快速发展，光学测量在科研和工程领域的重要性逐渐凸显，特别是非相干光源如激光的发明使很多以前不存在的光学测量技术得到了发展，其中最典型应用即速度的测量。

为了对速度进行测量，人们提出了很多种类的光学测量方法，可将它们分为非相干和相干技术两种，需要注意的是，这种分类并不意味着它们必然使用了非相干光源或相干光源。相干技术利用了光的振幅和相位信息，如激光多普勒测速法（LDV）[1]，激光斑纹测速法（LSV）[2]等；而非相干技术利用了目标成像的光强信息，两者的区别一般被认为是“图像”和“干涉图样”的区别[3]。在光学发展的早期，非相干技术包括照相法和摄影法，这些方法在测速时简单的对目标的运动轨迹进行观察或摄影，如光电图像追踪技术，后期被称为空间滤波技术（SFV）。在多种非相干和相干技术中，激光多普勒测速法由于其较高的空间分辨率和较高的测量精度而被很多学者进行了广泛的研究，虽然空间滤波法的测量性能与多普勒法是类似的，但一开始并未得到足够的重视，近些年来，空间滤波法以其光学和机械结构简单稳定、光源可选的实用优点而得到了越来越多的重视。本文对空间滤波测速的发展进行了介绍，并从数学角度对空间滤波特性进行了分析。

2 空间滤波测速的发展及原理

2.1 空间滤波测速的发展

空间滤波测速的基本概念来源于于航空相机控制技术和红外光学跟踪技术。明确的提出将空间滤波法用于速度测量来自于Ator的研究[4]，他从理论上明确了利用平行狭缝作为空间滤波器进行测速的原理，还从相关性理论的角度对这种方法进行了分析；Gaster[5]则对空间滤波法进行了试验验证，他将其应用于液体流速的研究；Naito和Tsutsumi[6]给出了空间滤波法的理论基础，他们对透射光栅进行了空间域的分析，给出了它的功率谱密度函数和空间透射比，并成功的证明了透射光栅相当于一个空间滤波器，能够用于进行速度测量；为了增强空间滤波器的选择性，Kobayashi和Naito[7]讨论了窄带通滤波器的最优性问题；为了改善低空间频率域内的滤波特性，Tsudagawa[8]等介绍了平行四边形视场，从而使空间滤波器性能得到了改进；Ushizaka和Asakura[9]研究了一种拥有显微镜的光学成像系统空间滤波测速法，并将其应用到在一个直径为130um～3.3mm的细小玻璃管内用于测量液体流速的分布；Aizu[10]等构建了一种差分式透射光栅测速计，它改善了滤波器滤除多余低频成分的能力，并证明了其在显微领域测量流速的有效性；Koyama，Aizu，Borders，Reuter和Kratzer[9]等一些研究人员则将这类空间滤波测速计应用于进行血液流速方面的研究。

在这些研究的基础上，Kobayashi[7]团队将空间滤波探测器进行了拓展，提出了具有空间滤波器功能的光电探测器；Itakura等[6]利用一个液晶元件阵列构建了一种新型的空间滤波器，并实现了两维速度分量的测量；除此之外，其它光学元件也可以用作空间滤波器。Hayashi和Kitagawa[11]利用光纤阵列构建了一种空间滤波器，他们将这种空间滤波器用于进行两维的速度分量和距离的测量，并确定了速度的方向；棱镜光栅是能够作为空间滤波器的光学元件中很有趣的一个例子，据此，科学家们诸如Plesse，Slaaf，Reuter和Talukder等实现了血液流速的测量[9]；Ushizaka[12]研究了透镜光栅的成像和折射特性，证明了它和棱镜光栅的原理相似，同样可以作为空间滤波器。

空间滤波测速的原理已经以多种方式应用于运动目标的测量。与双电子束LDV类似，Ballik和Chang[13]从理论和实验方面研究了一种边缘成像技术，在一个运动物体上进行仿光栅照明，而实际上在其前方并没有放置光栅，强度被调制后的散射光由一个光电探测器进行接收，通过其信号进行分析即可实现速度测量；Aizu[9]等对空间滤波法进行了改进，使其能够感测速度的变化程度；Ohno[14]等提出了采用空间滤波探测器来感测两维随机运动的方法，如运动物体的平均速度，尺寸以及数量等；基于光学成像的特性，空间滤波法还可以用于测量光学系统的离焦量，成像距离以及成像位移等。

2.2 空间滤波测速的原理

空间滤波测速（SFV）的基本光学系统如图1所示，在一定的探测区域内，照射光被一个沿x0方向以速度v0移动的运动目标进行散射，通过镜头L成像在一个沿运动方向有空间周期透射比的空间滤波器SF上，经过空间滤波器的光被其后方的一个光电探测器PD接收，由PD探测到的总光强由于图像以速度v运动以及空间滤波器的周期透射比p而产生周期性变化，如图2所示，于是，PD的输出中包含一个周期的周期信号，通过测量这个信号的频率，则目标速度v0可由下式确定[4]：

（1）

其中，M是光学成像系统的放大倍数，则。由图2可知，输出信号中包含一个频率为f0的周期信号，通常为正弦波，通过测量此正弦波的频率即可由以上公式实现速度的测量。

3 空间滤波效应

空间滤波法的原理可以从数学角度和频域的功率谱密度函数来描述。上节对空间滤波测速（SFV）的原理进行了直观的描述，本节对图像强度分布的空间滤波效应进行了数学分析。

如图1所示，坐标为的像平面上放置一个空间滤波器，光传播方向垂直像平面，假设空间滤波器上所成为理想图像。设，分别为平面上运动图像的光强分布及空间滤波器的光强透射比，假设所有通过空间滤波器的光都被光电探测器接收。当图像以速度分量，分别在，方向上移动，则光电探测器的输出信号可由以下积分公式表示：

（2）

式中，，，和为常数。一般的，我们认为地面目标的光强分布在时间和空间上满足随机过程。假设光强分布在，方向上满足静态随机遍历过程，则输出信号的相关函数为：

（3）

其中E[…]代表数学期望。对（3）式进行傅立叶变换，去掉常数部分，可得的空间功率谱密度函数为：

（4）

其中，为光强分布函数在空间频域的空间功率谱密度函数，Hp（μ，ν）为透射比的空间功率谱密度函数，用和表示即：

（5）

（6）

其中，为的傅里叶变换，和分别代表，方向上的空间频率。

如果图像光强分布函数不是随机的，而是周期或非周期（瞬时）的，则其功率谱可表示为：

（7）

其中为函数的傅里叶变换。此时空间功率谱密度函数表示如下：

（8）

其中为输出信号的傅立叶变换，可得：

（9）

由公式（4）可知，功率谱Gp（μ，ν）由两个功率谱函数Fp（μ，ν）和Hp（μ，ν）相乘得出，由此可看出输出信号是由经过空间滤波器调制的输入图像给出的，由线性滤波理论可知，Hp（μ，ν）在空间频域相对输入Fp（μ，ν）表现为一个线性滤波器。

空间滤波器在待测图像的运动方向上要求有一定的周期透射比，为方便数学分析，假设图像只在方向上有速度分量，即，，此时，空间滤波器的透射比只在方向上具有周期性，而在y方向上是相同的。通过对（4）进行积分可得相对空间频率的功率谱密度函数为：

（10）

式中：，为时域内的频率。公式（10）中再次表明功率谱对于输入函数相当于一个滤波函数。由于空间滤波器在方向具有周期透射比，则它的功率谱具有窄带通滤波特性，其中心频率在空间频率处。图3给出了功率谱和在时的典型分布。由于功率谱为两个频谱混叠的结果，因此其分布主要以功率谱为特征。时间功率谱中包含一个在处的频率尖峰，因此，通过测量其中心频率，即可得出目标图像的速度。此种方式通过周期透射的窄带通空间滤波器实现了速度测量，即本文介绍的“空间滤波测速”。

4 结语

在多种相干和非相干测速方法中，空间滤波法以其光学和机械结构简单稳定、光源可选的实用优点而得到了越来越多的重视。本文对空间滤波测速的发展进行了介绍，介绍了空间滤波测速的原理，并从数学角度对空间滤波效应进行了分析。空间滤波器的滤波特性及图像强度的空间分布直接决定了信号质量和测量精度，因此，空间滤波法的数学分析对于空间滤波器的设计、光学系统的配置以及实际应用具有较强的指导意义。

参考文献

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