高考正\余弦定理的考查方式

正弦定理和余弦定理是高中数学的一个重要内容,是高考必考知识点之一,也是解三角形的重要工具,常常会结合三角函数或平面向量的知识来考查. 下面例析正弦定理和余弦定理在2010年高考中的考查方式,供同学们参考.

一、求角

例1 (辽宁卷)在ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC.

(Ⅰ) 求A的大小;

(Ⅱ) 求sinB+sinC的最大值.

分析 根据条件等式,利用正弦定理、余弦定理以及三角公式,转化为边的关系来解决.

解 (Ⅰ) 由已知,根据正弦定理得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,即a2=b2+c2+bc.

又由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA.

故cosA=-■,A=120°.

(Ⅱ) 由(Ⅰ)得

sinB+sinC=sinB+sin(60°-B)

=■cosB+■sinB

=sin(60°+B).

故当B=30°时,sinB+sinC取得最大值1.

评注 注意角的范围对角的三角函数值的制约,本题中0

二、求边

例2 (全国卷Ⅱ)ABC中,D为边BC上的一点,BD=33,sinB=■,cos∠ADC=■,求AD.

分析 由∠ADC与∠B的差求出∠BAD,根据同角关系及差角公式求出∠BAD的正弦,在三角形ABD中,由正弦定理可求得AD.

解 由cos∠ADC=■>0知B

由已知得cosB=■,sin∠ADC=■,

从而sin∠BAD=sin(∠ADC-B)=sin∠ADCcosB-cos∠ADCsinB=■×■-■×■=■.

又由正弦定理得■=■.

故AD=■=■=25.

评注 如果题目中出现多个已知条件,可统一化为边,或统一化为角,再求解.

三、判断三角形的形状

例3 (上海卷)某人要制作一个三角形,要求它的三条高的长度分别为■,■,■,则此人()

A. 不能作出这样的三角形?摇?摇 B. 能作出一个锐角三角形

C. 能作出一个直角三角形?摇?摇 D. 能作出一个钝角三角形

分析 利用等积法,将高的关系转化为边的关系,再利用余弦定理来解决.

解 设三边分别为a,b,c,利用面积相等可知■a=■b=■c,即a∶b∶c=13∶11∶5.

由余弦定理得cosA=■

评注 利用余弦定理判断三角形形状,侧重于转化为边来判断.

四、比较大小

例4 (湖南卷)在ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,若∠C=120°,c=■a,则()

A. a>b?摇?摇 B. a

C. a=b?摇?摇 D. a与b的大小关系不能确定

分析 综合利用不等式和三角形边角的性质,可获解决.

解 由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos120°>a2+b2,即2a2>a2+b2,所以有a>b. 故选A.

评注 在ABC中,由余弦定理有性质:

(1)∠C是直角?圳c2=a2+b2;

(2)∠C是钝角?圳c2>a2+b2;

(3)∠C是锐角?圳c2

五、求三角函数值

例5 (江西卷)E,F是等腰直角ABC斜边AB上的三等分点,则tan∠ECF=()

A. ■?摇?摇 B. ■ C. ■?摇?摇 D. ■

分析 可多次利用余弦定理,先求出CE及CF,再求出cos∠ECF,再由同角三角函数求出正切值.

解 不妨设AB=6,AC=BC=3■,由余弦定理有CE=CF=■,再由余弦定理得 cos∠ECF=■. 解得tan∠ECF=■. 故选D.

评注 此类题往往要结合三角变换及三角公式进行计算.