浅谈数学模型在经济研究中的应用

摘要:数学模型方法不仅为经济学提供了一种强有力的分析工具,更从根本上改变了经济学家看问题和分析问题的角度和理念,使其对经济问题的本质产生了全新的看法。文章讨论了数学模型在经济研究中的优越性,通过具体实例展示了数学与经济学的完美结合,分析了数学模型在经济研究中误区,提出了一些数学模型在经济研究中的应用的认识。

关键词:数学模型;经济研究;弹性;需求价格弹性;线性规划模型;应用

一、引言

数学以纯粹的量的关系和形式作为自己的对象,其完全舍弃了具体现象的实际内容而去研究一般的数量关系,其考虑的是抽象的共性。相反,包括经济学在内的其他科学感兴趣的首先是自己所抽象的公式(数学模型)同某个完全确定的现象的对应问题及应用的约束条件。这两者之间是有矛盾的,因此经济学中数学运用首要的问题是适用性或说实践性的问题,即能否用所建立的模型去概括某一经济现象或说明某一经济问题。为简洁而又形象地对事物量化属性和结构特征进行深刻地描述,用字母、数学及其他数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象及框图等对客观事物的数量特征及其内在联系的表达形式,都可称为数学模型。运用数学模型可以研究变量之间的关系,探寻事物的变化规律,用可控变量得出必要的结果,从而概括出理论假说,这就是数学模型在经济学中的应用。现在这两个矛盾争论的焦点,不是经济学要不要运用数学方法,而是如何在经济研究中运用数学方法问题。

二、数学模型在经济研究中的优越性

经济数学模型在经济理论的指导下对经济现实进行简化,其主要的本质方面又近似地反映了经济现实,是经济现实的抽象。能起明确思路、加工信息、验证理论、计算求解、分析和解决经济问题的作用。

数学模型在经济研究中的优越之处在于其有坚实的理论基础,理论基础是指数学理论的支持,从最基本的概念、定义或公理出发,经过严格推理建立起来的数学公理化理论系统,提供了大量可以利用的定理、方法和结论。而且数学理论的具有严谨的逻辑系统,因此数学模型也必然具有严格的逻辑关系,正确的数学模型必然引出正确的结果,更具说服力。

数学模型的优越性还表现在其着重于整个经济系统中各种经计量之间的相互关系,其最能体现系统论的思想,具有整体性、目的性、动态性和自我调节能力,能够从整体把握经济量之间的本质联系,从而展现经济过程的全貌。

因此,数学模型比一般的定性分析和统计分析更深刻、更严谨和更有效。一般的定性分析和统计分析难以有效揭示经济现象背后深层次的问题,而经济数学模型(尤其是计量经济模型)揭示了经济系统中变量之间的相互联系,将经济目标作为被解释变量,经济政策作为解释变量,可以很方便的评价各种不同的政策对目标的影响。利用数学模型对经济科学决策进行模拟和反馈,是一种目前分析经济问题和现象最可行的方法。

三、数学模型在经济研究中的应用举例

数学模型在经济中的的应用大致包括四个方面:观察和预测经济事物的机理变化和发展趋势;规划和设计经济的现实和未来;分析和控制经济的运动和规模;研究和解释经济现象及规律。可以概括为:结构分析、经济预测、政策评价、检验与发展经济理论等四个方面。

例如,经济学中的结构分析是对经济现象中变量之间相互关系的研究,其研究的是当一个变量或几个变量发生变化时会对其他变量以至经济系统产生什么样的影响,其主要采用的方法有弹性分析、乘数分析与比较静力分析。下面以弹性分析为例,谈谈数学模型与经济的完美结合。

弹性作为一个数学概念是指相对变化率,即相互依存的一个变量对另一个变量变化的反应程度。用比例来说,是自变量变化1%所引起因变量变化的百分数。弹性是一种不依赖于任何单位的计量法,即是无量纲的。

下面给出弹性的一般概念:给定变量u,其在某处的改变量Δu称为绝对改变量。给定改变量Δu与变量在该处的值u之比■称为相对改变量。

定义1。对于函数y=f(x),如果极限lim■存在,则:

lim■=lim■=■■=■f′(x)

称为函数y=f(x)在点x处的弹性,记作E,即E=■■=■f′(x)。

其数学意义可以解释为当自变量变化百分之一时函数变化的百分数。

将弹性理论引入经济学,为经济分析提供了有力的工具。需求价格弹性是是经济数学弹性中应用最广泛的概念之一。

设需求函数为Q=Q(P),这里P为价格,Q为需求量。需求弹性为:Ed=■■。

根据经济学中的需求定理,需求函数是单调减少函数,所以需求弹性一般取负值,所以在公式的右方乘以(-1),即-■■,称其为弹性系数。

例1:设某商品的需求函数为Q=3000e-0.02p,求价格为100时的需求弹性,并解释其经济含义。

解:Ed(P)=■=■=-0.02p

Ed(100)=-2

经济意义是:当价格为100时,若价格增加1%,则需求减少2%。

弹性分析在预测市场结果、分析市场受到干预时所发生的变化等方面起着重要作用。另外,在经济研究的许多方面,会遇到如何对有限的资源(如人力、财力、物力)进行合理的安排,以使预期目标达到最优的问题。数学模型中的线性规划模型结合已有的算法和软件能很好地回答这些问题。例如下面的分配问题。

例2:设有m个应聘岗位,人事部门从n个应聘人员中招聘m个工人(n≥m)。要求每个岗位有一个工人,上岗人员每人做一件工作,经测试,第i个人员做第j件工作的效率(时间)为cij,试决定招聘哪些人员上岗,以及如何分配其岗位,才能使整体效益最大。

解设xij=1表示第i个应聘人员做第j件工作,xij=0表示第i个应聘人员不做第j件工作(其中i=1,2,3,…n;j=1,2,3,…m)。于是得线性规划模型:

Z■=■■c■■x■■

s.t.■xij≤1,i=1,2,3…,n.(每个人至多做一件工作)

■xij=1,j=1,2,3…,m.(每件工作只有一个人做)

xij=0或1。(模型求解略)

说明:由于决策变量取值均为0或1,所以也称该模型为0-1规划,是整数规划的特殊情况。

此外,数学模型在经济中的应用例子很多,例如利用概率分布建立预期收益率模型、利用微分法建立最优化价格模型、利用微分方程建立经济增长模型、利用Shapley值法建立收益合理分配模型、利用期望值法解决风险型决策问题等。

四、数学模型在经济研究中的误区分析

(一)滥用数学模型

数学运用的界域是可以量化的事物,经济研究的视野是人类一切经济活动和社会关系。并非所有的经济活动和经济关系都是可以量化的,不看对象、不问条件、一门心思运用数学方法去求解经济问题,很容易使经济学沉湎于方法论的探寻,拘泥于微观经济体的研究,而对于涉及宏观经济体制变革、机制设计以及社会关系调整等全局性的问题有所轻视和忽略。现代经济学越来越热衷于复杂的数学计算,沾沾自喜于美妙的数学模型,玩弄神秘。其结果是导致经济学逐步地与每日生活的丰富性、复杂性和非理性相脱离。

(二)对数学模型约束条件的取舍过于随意

数学方法逻辑严密性和计算准确性的性质决定了任何一个数学模型都要受到若干条件的约束,只有假定这些条件满足,该数学模型才能成立。方程越复杂所受的约束条件越多。现在一些经济学家建立数学模型对于约束条件,一是根本不去考虑,二是过于简化,三是约束条件的确定十分随意,仅从模型本身的需要出发而不考虑是否符合客观实际要求。如此建立起来的数学模型起不到对经济现象量化模拟和对经济理论抽象概括的作用,相反,容易引起理论的混乱和实际操作的重大失误。

(三)先建立模型,再寻找数据

本来构建数学模型要对所研究的现象进行细微周密的调查,尽可能获取详尽的数字资料,并应做一番去粗取精、去伪存真、由此及彼、由表及里的深入分析,以期找出主要因素及各因素的数量关系,从而建立起数学表达式。可现在一些经济学家却反其道而行之,将构建数学模型的顺序颠倒了过来。采取先确定数学表达式,然后再找能够支持数学关系式成立的数据,从而验证自己所做出的理论概括的正确性。这种以主观意识为导向的研究方法是不可取的。经济学本来应是一门从实践到理论再到实践的不断用实践验证和充实的实证性科学,若反其道而行之,难免会使经济研究步入不问民众疾苦,远离社会经济生活实际的歧途。

(四)过分看重数学模型的结果

建立数学模型对经济问题进行分析、计算和预测,为我们定量分析经济问题提供了一种方法,对于我们更好地把握经济问题有一定的帮助。但是我们不能因为有了数学模型就认为问题就得到了解决,也不能认为经济数学模型就是科学的依据。数学模型只是从一个侧面给了我们分析经济问题的方法,在具体实践中绝对不能对模型神秘化、崇拜化。

五、对数学模型在经济中的应用的一些认识

(一)重视数学模型的技艺性

数学建模的技术创造带有一定的艺术特点,具有技艺性很强的技巧。首先,建模的方法与其他一些数学方法如方程解法、规划解法等是根本不同的,无法归纳出若干条普遍适用的建模准则和技巧。其次,数学建模不仅是一种定量解决实际问题的科学方法,而且还是一种从无到有的创新获得过程,数学建模的好坏与建模者的素质息息相关,人是数学建模的主体,事物原型是数学建模的客体,在数学建模的过程中,经验、想象力、洞察力、判断力以及直觉、灵感等因素起的作用往往比一些具体的数学知识更大,一个成功的数学模型总是主体的能动性与客体的规律性达到高度统一时境界的产物。

(二)数学模型的逼真性和可行性往往无法兼顾

逼真的模型在数学上常常是难于处理的,因而不容易达到通过建模对现实对象进行分析、预报、决策或者控制的目的,即实用上不可行。越逼真的模型常常越复杂,即使数学上能处理,这样的模型应用时所需要的“费用”也相当高,而高“费用”不一定与复杂模型取得的“效益”相匹配。所以建模时往往需要在模型的逼真性与可行性,“费用”与“效益”之间做出折衷和抉择。

(三)理解数学模型的局限性,更好地为经济研究服务

数学模型只是一种分析工具,必须在经济理论的合理框架中才能真正发挥其应有作用,而不能将之替代经济学,而且数学模型的局限性:第一,人为因素直接影响数学模型,既表现在建立要受人们对客观经济现实认识能力和仿真手段的限制,还表现在其应用是有条件的,不能脱离应用者的学识、经验和判断能力。而人的认识是总是有局限性的,因此经济数学模型难免有其相应的局限性。第二,虽然由数学模型得到的结论具有通用性和精确性,但是模型中需要的参数是人们自己设想的,不可能正好与实际相符,另外带入模型的其他数据的准确性也难以肯定,于是结论的通用性和精确性只是相对的和近似的。第三,并不是所有经济现象都能找到数学模型来支持,还有不少实际问题很难得到有着实用价值的数学模型。如一些内部机理复杂、影响因素众多、测量手段不够完善、技艺性较强的生产过程等。第四,数学模型在经济中应用广泛,但目前尚没有一个具有普遍意义的建模方法和技巧。这既是我们今后应该努力发展的方向,又是我们不可推卸的责任。因此,我们要认识到数学模型的局限性,对数学模型有比较全面的客观的认识,有利于我们更好地利用数学模型为经济研究服务。

参考文献:

1、杨策平.经济数学模型分析[M].中国地质大学出版社,2003.

2、李伯德.数学建模方法[M].甘肃教育出版社,2006.

3、黄忠裕.初等数学建模[M].四川大学出版社,2004.

4、姜启源,谢金星,叶俊.数学模型(第三版)[M].高等教育出版社,2003.

(作者单位:海南软件职业技术学院)