中学物理的平均值

中学物理接触过平均速度，进一步又涉及平均力、平均功率、分子平均动能、平均电动势、平均电流以及实验中多次重复过程再取平均值等.对于对某段过程或某个整体取平均值，就能在很大程度上简化计算，找到方便捷径.但反过来讲必然显得粗糙而不严密，而且有时还可能把一些本质问题掩盖起来，如曲线运动的平均速度和交变电流的平均值之类，所以有必要适当加以分析.

1取平均值的对象

物理过程的进行，时间推移，取平均值是t还是s?多数场合是某物理量对时间取平均值，如平均速度，如，常见的质量m=0.5 kg的强力型茶杯，从h=5 m高自自由落下，砸在地面上经Δt=0.1 s而安然停下，g取10m/s2，如图1，求地面对茶杯的平均作用力.“利用动量定理可得（F-mg)Δt=m2gh.F=mg+m2gh/Δt=55 N.因为冲量是力的时间的积累，所以这

是力相地时间所取的平均值.

现在换一个模型，如图2，质量为m的锥形桩，从高度h处自由落下，泥池中，泥对桩的阻力与插泥地对桩的阻力与插入深度成正比，可表为f=kx,求插入深度d.本题需用动能定理W总=ΔEk求解，而功是力对位移的积累，故变阻力应对位移取平均值，幸喜f随x均匀增加，故

f=f初+f末2=12kd

mgd-12kd•d=0-12mv20=-mgh,

从而解出d=mg+mg(mg+2kh)k.

比较一颗质量为M的返回人造卫星以速度v0竖直向下在太平洋面溅落时间t达最大深度h,求水对卫星的平均作用力，如果算好时间的平均作用力，则据动量定理可得F1=Mv0t+Mg；如果对位移取平均作用力，则据动能定理可得F2=Mv202h+Mg,只有在作用力恒定的情况下，两者才相等，其他情况则不相等.

在实验中为减小偶然误差，重复多次而取的平均值，则是同一事件物理量对次数所取的平均.比较单纯但也要统观后效，如用图3所示的纸带求加速度，原理式为Δs=aT2,

解法1为a1=s1-s1T2,a2=s3-s2T2,a3=s4-s3T2然后取平均a=a1+a2+a33,但若将a1、a2、a3的算式代入，本质上变为a=s4-s13T2,只用s1和s4两段加大了偶然的误差.故必须用逐差法.

解法2a1=s3-s12T2,a2=s4-s22T2a=12(a1+a2)=(s4+s3)-(s2+s1)4T2便使每段s都被利用起来而减小偶然性.

2N=N初+N末2去求平均值的条件

按照平均值的定义式计算如v=s/t是一般化的，但中学生最早在匀变速直线运动中学到v=12(v0+vt),于是在头脑中根植下来，以后其他场合会不自主套用，实际上本式仅适用于物理量线性变化的过程中，即在均匀变化而表现为一次函数的前提下适用.

例如，一质量m=5.0 kg的物体，受如图4所示的合外力作用下，从静止开始运动，求10 s末的速度.这是变力作用下的运动，但它随时间均匀变化，故可利用N=N初+N末2，求平均值，得F=5+102N=7.5 N.然后通过牛顿定律求加速度

a=7.5/5 m/s2v10=at=15 m/s;

或利用动量定理F•t=mvv10=7.5×10/5 m/s=15 m/s.

3补偿平均值的不足

对某些物理过程中，平均值使问题简化，但也确有另一些物理过程，平均值会掩盖其问题的本质，如环400 m跑道跑了25周，气喘呈呈的运动员无论谁快谁慢，平均速度都是零；交流发电机整天工作，平均电动势平均电压、平均电流都是零等等.所以必须引入其它物理量予以针对性的补救；如果运动中的瞬时速度、平均速率等.在交变电流中，注重电流做功，就相应引入有效值，如正弦交流电

ε=εm/2,u=um/2

,I=Im/2,而平均值切切不能进入交变电流的做功计算.

如图6所示，竖直导轨电阻不计，上端串有电阻R，轨间有水平方向的匀强磁场，强度为B，可动导体棒质量m,横跨度l,电阻r，无初速无摩擦且接触理想地下滑，经时间t加速下滑距离为h，求此时棒的速度v.

解法1感应电动势的过程平均值

ε=12(ε初+ε末）=12Blv,

故电流做功发热为Q=W=ε2R+rt=B2l2t4(R+r)v2，

再根据能的转化和守恒定律mgh=12mv2+Q,

得v=4mgh(R+h)B2l2t+2m(R+r).

点评本解首先错在不能用等差中项求ε

，因为ε并不随时间线性变化，而且即使算出ε，也不能用ε算电功，算电功必须用变化电流的有效值，且本例不是正弦式交流电，中学数学手段无法得出其有效值，应访另辟蹊径.

解法2

考虑对棒应用动量守恒，取向下为正，则

mgt-∑BilΔt=mv,

其中∑BilΔt=∑BlBlviR+rΔt=∑B2l2R+rΔh=B2l2hR+r，

代入前式即可解得v=gt-B2l2hm(R+r).

再根据能的转化和守恒可得过程中电流做功的发热量

Q=mgh-12mv2=mgh-12m［gt-B2l2hm(R+r)］2.