浅析异面直线的证明\性质及应用

异面直线是高中数学的一个重要知识点,也是较难掌握的一个重要数学内容,异面直线是立体几何开头部分中一个抽象的概念,是个难点,为了帮助学生克服这个难点,增强学习的信心,掌握其知识点,并能熟练应用。下面从三个方面来研究探讨异面直线的实际应用。

一、证明两条直线是异面直线

证明两条直线是异面直线方法有三:①用异面直线的判定定理;②从空间两条直线的位置关系上反证;③从异面直线的定义上反证。所谓异面直线的判定定理是指“平面外点与平面内一点的连线和平面内不经过该点的直线是异面线”。从空间两条直线的位置关系上反证,就是假设不是异面直线,则是相交和平行,再分别去推矛盾;从异面直线的定义上反证,就是假设不是异面直线,则两条直线必然在某一个平面内,由此去推出矛盾,请看三例。

点评:当题中已知了图形,证明异面直线可用判定定理。

例2:已知:a,b是异面直线,b∥c,且不相交,

求证:直线a,c是异面直线。

分析:从两条直线位置关系上反证。

证明:假设a,c不是异面直线,那么a∥c或a,c相交,因为已知a,c不相交,a∥c。又b∥c,a∥b,“这与已知a,b是异面直线矛盾”,即是异面直线。

点评:当题中末给出图形却有直线的平行或相交等条件时,可从两条直线位置关系上反证。

例3:已知:AB,CD是异面直线,

求证:直线AC,BD也是异面直线。

分析:从异面直线的定义上反证。

证明:假设AC,BD不是异面直线,那么AC,BD必在某一个平面(记为α)内,即A,B,C,D均属于平面α,由平面性质知直线AB,CD均包含于平面α,“这与已知AB,CD是异面直线矛盾”,即AC,BD是异面直线。

点评:当题中末给出图形也没有直线的平行或相交等条件时,可从异面直线的定义反证。

二、异面直线的性质

性质1:分别和两条异面直线都垂直的两条直线平行。

已知:a,b是异面直线,直线m,n有ma,mb,na,nb,

求证:m∥n。

证明:因a,b是异面直线,过a上任一点P作b′∥b,a与b′确定平面α,

mbb∥b′?圯mb′又ma?圯mα同理nα?圯m∥n。

性质2:分别和两条异面直线都平行的两个平面平行。

已知:a,b是异面直线,平面α,β有a∥α,a∥β,b∥α,b∥β,

求证:α∥β。

证明:任取点O∈b,过O作a′∥a,a′∩b=O,a′,b确定平面γ(α与γ不重合,否则b?奂γ=a,这与b∥α矛盾,同理β与γ不重合),且a′?埭α(否则a′?奂α,由a′∩b=O知b与a有公共点O,这与b∥α矛盾),

a∥ αa∥a′a′?埭α?圯a′∥αb∥α?圯γ∥α同理γ∥β?圯α∥β。

三、应用异面直线的性质

例4:a,b是空间两条不平行的直线,如果直线m,n有ma,mb,na,nb,那么直线m,n的位置关系是?摇?摇?摇?摇。

分析:讨论直线a,b的位置关系,分类解答。

解:由条件知直线a,b的位置关系只能是异面或相交。

(1)当a,b是异面直线时,由异面直线的性质1,知m∥n。

(2)当a,b是相交直线时,a,b可确定平面α,由mamb?圯mα,同理nα,所以m∥n。

综上可知:m∥n。

点评:灵活运用异面直线的性质1。

例5:已知:a,b是异面直线,平面α,β有a∥α,a∥β,b∥α,b∥β,直线l?奂α,

求证:l∥β。

分析:先讨论平面α,β关系,并利用这个关系。

证明:因为a,b是异面直线,平面α,β,有a∥α,a∥β,b∥α,b∥β,由异面直线的性质2,知α∥β?圯α与β没用公共点,又l?奂α,所以l与β没有公共点,由直线与平面平行的定义,知l∥β。

点评:灵活运用异面直线的性质2。

综上所述,异面直线有三种证法,两条性质,认真读懂以上内容后,当遇到异面直线问题时,我们不仅可以从空间直线的分类或异面直线的定义上反证它,而且可以利用异面直线的判定定理直接证它,更重要的是我们能够利用异面直线的性质证明两条直线平行,证明两个平面平行,这将大大提高我们解决异面直线问题的能力,以上几个例子为我们解决异面直线题目提供借鉴与参考,从而使我们能得心应手地解决有关异面直线的题目。

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