例说新课导入中问题情境的构建

疑是思之始,学之端。巴尔扎克说:“打开一切科学的钥匙都毫无异议是问号。”

新课标认为:创设情境、诱发疑问是课堂实现“意义建构”的必要前提,是教学设计的最重要的内容之一。“问题情境”在课堂教学中具有承上启下的重要作用,恰当的“问题情境”可以在不知不觉中引出数学课题,激发求知欲望,启发学生思维,诱发学生内动力,并深化学习的内容。因此,问题情境在课堂教学中占有极其重要的地位。

如何构建问题情境以导入新课?我在这里交流自己的一些心得体会,以求指正。

1.通过实例设置情境

现实生活和工作中的问题是推动数学发展的源动力。建构主义学习理论强调创设真实情境,即情境创设不能违背“与主体相关且尽可能真实”的原则。应用实际问题构建的问题情境自然而真实,能使学生从心理上产生一种悬而未决但又必须解决的求知愿望,形成要主动而积极的克服困难的心理倾向。”

【例1】(教学余弦定理起始课)一座山的两侧分别有点B和C,根据某项工程的要求,需要测出B、C两点之间的距离,根据现场条件和现有测量工具,测量员测得AB=c,AC=b,∠A=α。据此能求出BC的长吗?如果能求,怎样求?

两个问题可分两次给出。

根据平面几何的知识可以知道,ABC中有两条边和一个角确定,其形状和大小完全确定,因此,边BC的长一定是确定的,即一定是可求的。

一定可求的本质就是边BC的长可以用b、c和α表示。抽象成数学问题就是:“ABC中,已知两边及其夹角,求第三边”。至此,已给出本节课要研究的主题。

【例2】(等比数列概念)某人年初投资10000元,如果年收益率是5%,那么按照复利,5年内各年末的本利和依次为多少元?

答案是:10000×1.05;10000×1.05;…;10000×1.05。

这五个数组成一个数列,这个数列有什么特点?

答案是:从第二个数起,每一个数与前一个数的商都等于同一个数(1.05)。

以下师生共同归纳,从中抽象出等比数列的定义。

[点评]数学源于实际,高于实际,并服务于实际。从实际问题中抽象出数学问题,建构起数学模型,这是学生建构新知识的起点。上述两例的问题情境都源于现实,虽然简单,但却能激起学生的讨论热情和求知欲,使学生满怀希望地投入学习,从而十分自然地引出该节课要探究的主题。

2.从数学本身的发展出发设置情境

如果说数学情境是数学问题产生的土壤,那么数学情境的精心设计则是学生发现问题、提出问题的重要前提。奥苏伯尔认为:学生对学习新知识有“三分生、七分熟”的感觉。因此,学生接受学习的过程不是一个被动的过程,而是新旧知识相互作用的过程。只有当创设的数学情境进入学生的“临近发展区”,学生才能在已有的认知发展水平基础上,通过教师的适当的指导,进行有意义的、有目的的、自主探究式的学习。

【例3】(虚数单位的引入)本内容可通过系列问题完成。

问题1:方程3x=6在整数范围内有解吗?方程3x=1呢?

答案:方程3x=6在整数范围内有解,解为2;而方程3x=1在整数范围内无解。

问题2:方程3x=1在有理数范围内有解吗?方程3x=1呢?

答案:3x=1在有理数数范围内有解,解为;而方程3x=1在有理数范围内无解。

问题3:方程3x=1在实数范围内有解吗?方程x=-1呢?

答案:方程3x=1在实数范围内有解,解为±;而方程x=-1在实数范围内无解。

至此,问题已经展现在眼前:是否可以把数系的范围扩大,使方程x=-1在该数系范围内有解呢?虚数的存在性呼之欲出。

【例4】(圆的标准方程)本内容也可通过系列问题完成。

问题1:如图,点P(x,y)在直线l上运动,则点P的坐标x,y满足什么样的关系?

答案:+=1。此关系式称作直线l的方程。

问题2:直线有方程,圆有方程吗?

答:有。

问题3:右图中的圆的方程是什么?

答:没有圆心和半径,不好求。

问题4:设圆心为O,半径为r,则圆O的方程是什么?

答:没有坐标系,就没有方程,应先建立坐标系。

以下开始讨论,并归纳出求平面图形的方程的五个主要步骤“建、设、限、代、化”。

建:建立适当坐标系;设:设图上任意一点为P(x,y);限:点P必须满足的限制条件;代:把相关点的坐标代入上述条件,得到方程;化:化简所得方程。

[点评]问题构建提倡把学生已经掌握的知识作为新知识发展的起点,并在知识传递的过程中找寻一类问题的解决办法。上述两例从学生原有知识出发,精心设计铺垫,频发认知冲突,使学生在自己探索的过程中解决了问题,并在“捕捉问题、探寻结论”的过程中逐步完成了知识的拓展、感悟和内化。

3.通过动画演示设置情境

新课程标准指出:数学学习的内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。要达到这一目标,教学情境必须现实且富有趣味性和吸引力。随着多媒体教学手段的不断发展,生动活泼的动画演示已变得轻而易举,这就使得课堂更加具有趣味性而充满活力。动画演示成为设置情境的重要手段之一。

【例5】(圆与圆的位置关系)在电脑上演示日食的演变过程,抽象出两个圆的五种位置关系。

【例6】(导数的概念)设P(2,4)为曲线上y=f(x)的一个定点,直线l过定点P且交此曲线于另一点A,把直线绕着点P旋转,观察直线l与曲线y=f(x)的位置关系。

在直线绕点P旋转的过程中,直线l与曲线从相交趋近于相切,割线的斜率(曲线从P点到A点的平均变化率)越来越接近于切线的斜率。师生由此抽象、概括出导数的定义。

[点评]从小学到中学,虽然学生的形象思维能力已经有了很大的提高,但是大多数学生仍然不能完全凭借抽象的思维来进行思考,很多时候还需要甚至依赖于形象思维的支撑。动画的演示,形成了强烈的感官刺激,使间接经验的学习找到了支点。在这样一种情境下,学生乐于积极思考、分析,探究的欲望常常很强烈。

以上所论,只是抛砖,旨在引玉。随着课堂教学的不断开展和深入,相信会有更多、更精彩的构建问题情境的方法不断涌现。需要强调的是:营造一种现实的、有吸引力的问题情境,必须紧扣教育、教学目标,在“巧”字上作创设,在“导”字上下功夫。只有这样,才能收到启迪学生智慧、激励探究热情的效果,才能为高效课堂教学奠定基础。

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