浅析解题中分类讨论的动因和方法

分类讨论思想是中学数学中的一种重要的思想方法，它是逻辑划分思想在数学解题中的具体应用。这种数学思想方法几乎涉及中学数学内容的各个部分，也一直是高考数学命题中的热点问题。进行分类讨论首先要明确讨论的动因，即认识为什么要分类讨论。一般说来，当研究的问题涉及到分类定义的概念，分类研究的定理、性质、公式、法则，或在计算、推理过程中，遇到数量大小不确定时，常常可以运用分类讨论思想去研究解决。其次要掌握好分类标准，即在同一个问题中分类要按同一标准进行，做到既不重复也不遗漏，这样就可以在分类的基础上进行讨论，最后根据分类讨论的各种情况，得出问题的最终结果。

对于数学问题，一方面由于我们面对的问题涉及面广、综合性强，另一方面，由于解题中经常忽视分类讨论或讨论中发生逻辑错误，所以学习中有必要对分类讨论思想引起足够重视并加强训练。进行分类讨论的关键是明确讨论的动因，即认识为什么要分类讨论，只有明确了讨论的原因，才能准确、恰当地进行讨论。掌握好分类讨论这种思想方法，有利于培养我们思维的条理性和严密性。下面从几个方面论述分类讨论的动因和方法。

一、正确运用数学概念进行分类

有些数学概念本身就是以分类形式定义的，如实数的绝对值。因此，要去掉绝对值的符号就要分情况讨论，即|a|要按a>0时，|a|=a；a=0 时，|a| = 0；a

例1：解不等式3|x+2|＋3|x-1|≥28。

分析：绝对值概念的本身就是按分类来定义的，为去掉指数中的绝对值符号，须进行分类讨论。

解：①当x≤－2时，原不等式变为3－x－2＋31－x≥28，即■・3-x≥28，解得x≤－2；②当－2＜x＜1时，原不等式变为3x＋2＋31－x≥28，即9・32x-28・3x+3≥0，解得3x≤■或3x≥3；得x≤－2或x≥1，这与假设矛盾，此时不等式无解；③当x≥1时，原不等式变为3x＋2＋3x－1≥28，即■・3-x≥28，解得x≥1。综上所述原不等式的解集为｛xx≤－2或x≥1｝。

二、按某些运算的要求分类讨论

有些运算有一定的要求限制，如除法要求除式不为零；解不等式要看不等式两边是同乘以一个正数还是负数；在实数集内开偶次方时被开方时须非负；对数运算其真数应为正数等。这些都是进行计算时需进行讨论的动因。

例2：已知函数f(x)=x-■+1-aln x，a＞0。讨论f(x)的单调性。

分析：由求导可判断单调性，同时要注意对参数的讨论，既不能漏掉，也不能重复。

解：由于f′(x)=1+■-■，令t=■得y=2t2-at+1(t≠0)，

①当?驻=a2-8≤0，即0

②当?驻=a2-8>0，即a>2■时，由2t2-at+1>0得t■，

■

综上①当0

三、根据相关限制条件分类讨论

有些数学定理或公式，其结论本身就是按分类讨论来进行表述的，如解一元二次方程或一元二次不等式，就需按判别式的各种情况来讨论；等比数列前n项和公式就是按公比q是否等于1来讨论；无穷递缩等比数列的极限■qn，仅在|q|＜1时才成立。

例3：设首项为1，公比为q（q＞0）的等比数列的前n项和为Sn，又设Tn=■，其中n＝1，2，…，求■ Tn。

解：当q=1时，Sn=n，Sn+1=n+1，

■ Tn=■ ■=1；

当q≠1时，Sn=■，Sn+1=■，Tn=■；

当0

■ Tn=■ ■=1；

当q>1时，有0

■ Tn=■ ■=■。

综上所述，■ Tn=1，0＜q≤1，■，q＞1。

点评：对分类讨论的结果，若能用公式的形式予以概括表出，会给人一种清晰简明的感觉，自我检查时也会一目了然。

四、根据函数的某些性质分类讨论

有些数学问题涉及到函数的单调性、值域范围等，因此在解题时，常常要讨论参数的不同取值的情况。

例4：已知a>0，a≠1，解不等式log a(x2-2ax-2a2)>2。

解：当0

log a(x2-2ax-2a2)>2?圳x2-2ax-2a2>0x2-2ax-2a2

?圳x>(1+■)a或x

?圯-a

当a>1时，由y=log ax为增函数，知

log a(x2-2ax-2a2)>2?圳x2-2ax-2a2>0x2-2ax-2a2>a2

?圳x>(1+■)a或x

?圯x3a。

综上所述，当01时，原不等式的解为x3a。

点评：解对数不等式必须考虑对数函数的增减性，因此必须对其含有参数的底数取值范围进行分类讨论，这种题型在各类考试中时有出现。

以上所述的几个方面既是引起分类讨论的原因，同时也是我们进行分类讨论的方法和策略。现就有关的几个问题概括和归纳如下：（1）分类讨论的一般步骤：①根据实际解题需要确定分类的对象和讨论的范围；②确定分类的标准，进行合理分类；③逐步讨论（必要时还要进行多级讨论）；④总结概括，得出结论。（2）分类常用的方法和策略：①概念和性质是分类的依据；②按区域进行分类是基本方法；③不定因素是分类的突破口；④二分法是讨论的利器。（3）合理分类的三条标准：①对所讨论的全域分类要“既不重复，又不遗漏”；②在同一次讨论中只能按所确定的一个标准进行；③对多级讨论，应逐级进行，不能越级。

（责编 张晶晶）

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