一个重要的向量等式的应用

一般地，若向量a、b、c满足a+b+c=0，则称a、b、c的和为零向量，这个等式有着特定的物理背景和几何背景，且在高中数学中应用广泛，出现频率较高，本文结合自己的教学经验拟介绍以a+b+c=0为背景的一类数学问题，供读者朋友参考。

这个向量等式源于物理模型，如力的合成，f1、f2、f3的合成f1+f2+f3=0（N）。（如图1）

命题1：ABC中，若＝a，＝b，＝c，则a+b+c=0。（如图2）

这是沙尔定理：简形式。

应用1：证明余弦定理。

证明：构造三角形巧妙处理，令＝a，＝b，＝c。则a+b=-c，

故（a+b）2=（-c）2，展开得：|a|2+|b|2+2|a||b|cos（π-B）=|c|2，化解得： AC2=AB2+BC2-2AB・BC・cosB，即证。

应用2：处理可转化为解三角形的向量问题。

若向量a、b、c满足a+b+c=0，|a|=1，|b|=2，|c|=√2，求ab+bc+ca的值。

解：构造三角形巧妙处理，令＝a，＝b，＝c。则

由余弦定理得

所以

命题2：已知O为ABC的重心，若＝a，＝b，＝c，则a+b+c=0。

证明：（如图3）

延长AO交BC于点M，由O为

解：设A，B，C三点的横坐标分别为x1，x2，x3，由

知：点F（1，0）为ABC的重心，故x1+x2+x3=3，根据抛物线的定义知：

命题3：若O为ABC的所在平面内一点，则

故等式等价于证明sin∠BOC・e1＋sin∠AOC・e2＋sin∠AOB・e3=0。（＊）

应用4：求一类三角形面积比问题。

（08南通一模）若O为ABC内部一点，且

则SAOB∶SBOC= 。

法1：（如图5）作A'O'B'，重心为O，取向量

连结AB，BC，CA。则由命题2得：

由命题4得：S0=SA'O'B'=SB'OC'=SA'OC'。所以SAOB∶SBOC= 。

这一解法虽道出命题的生长点，返朴归真，但并非是最快最简的方法。法2也许只要几秒钟就实现问题的正确解答，如下：

法2：由命题4得，SAOB∶SBOC=4∶1。

命题4：若O为ABC的外心，则

证明：（如图6）由命题3得：

又O为ABC的外心，所以 即

应用5：求一类三角形内角大小问题。

若点P为ABC的的外心，且 ，则∠C=。

解：由命题3得：sin∠BPC∶sin∠APC∶sin∠APB=1∶1∶（-1），

可得∠APB＝240°，所以∠C= 。