数列推理论证题的求解策略

数列推理论证题以其灵活性大、难度深、研究性强而经常显身于高考试卷中，其主要特征是以数列的通项公式、前n项和为背景，以等差、等比数列为主线，涉及函数、方程、不等式等重要内容，体现函数和方程、待定系数、等价转换、分类讨论等重要思想方法，突出考察学生的运算能力、逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力，也是新教材、新高考倡导的问题探究最合适的平台之一，理应引起我们足够的重视。其常见的求解策略可归纳为以下几种：

一、紧扣定义，合理建构

例1：已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1（n∈N+）

（1）求数列{an}的通项公式an；

（2）若数列{bn}满足 ，证明{bn}是等差数列。

分析：显然，数列{an}非等差或等比数列，其通项公式需通过建构特殊数列间接求得，这里可采用待定系数法，而数列{bn}的性质则可借助{an}的通项，利用等式的性质及建构等差中项证得。

解：（1）不妨设an+1+p=2（an+p），与条件an+1=2an+1比较得p=1，an+1+1=2（an+1）且a1=1，{ an+1}是首项为2，公比为2的等比数列，an+1=2・2n-1，即an=2n-1。

（2）由题意 ，即，

2（b1+b2…+bn）-2n=nbn（n≥1），2（b1+b2…+bn+1）-2（n+1）=（n+1）bn+1，相减得2bn+1-2=（n+1）bn+1-nbn，即（n-1）bn+1-nbn=-2且nbn+2-（n+1）bn+1=-2，nbn+2-2nbn+1+nbn=0。bn+2+bn=2bn+1（n≥1）{bn}是等差数列。

二、把握数列“通性”，化归定义

例2：已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn= （an-1）（n∈N*），求证数列{an}是等比数列。

分析：这里给出了前n项和Sn和通项之间的关系式，由于数列的通项与前n项和之间恒有“通性”：an=Sn-Sn-1（n≥2），则原有条件即可化归到通项的递推关系，利用定义即可证得命题成立。

三、善于辨证思维，以点论面

例3：已知数列{an}的相邻两项an，an+1是方程x2-cnx+（ ）n=0 的两根，（n∈N+）且a1=2，求证数列{an}不是等比数列。

分析：从辨证的角度来看，证明一个数列不是等比数列，只需从中找到若干项不符合等比数列的定义即可，而寻找的首选显然是数列的前几项。

证明：由an，an+1是方程x2-cnx+（ ）n=0的两根

得四、注重结构分析，适度调控

例4：求证： 分析：这是一个与数列求和有关的不等式问题，从不等式两边的结构来看，分母的二次结构需化到一次结构，应考虑因数分解，而右边仅剩两项，似有相抵之意，故可考虑数列的裂项相抵求和处理。

例5：设数列{an}的通项公式是an=3n，记 ，

求证： 。

分析：注意到数列的规律性及其和的复杂性，我们可以考虑用比差来顺应这两个特征，故应关注Sn的单调性 。

应当说明的是，数列推理论证题往往与自然数n的命题有关，故必要时，用数学归纳法证明数列推理论证题也是我们应关注的策略之一。另外，在解题时，适当掌握一些数列的延伸公式可简化解题过程。