浅析分式方程的增根

分式方程是初中数学学习的一个重要内容，同学们在学习这部分内容时，常常对分式方程的增根及其产生原因理解不清，造成在解决有关问题时这样那样的错误，本文拟从以下几方面来加以说明，希望对同学们有所帮助。

1.什么是分式方程的增根

首先要明确的是：分式方程的增根，并不是指在解分式方程的过程中出现错误而得到的根，而是在将分式方程化为整式方程后求得的未知数的值。如果使分式方程的最简公分母的值为0，那么这个根才是分式方程的增根。我们要判断解得的未知数的值是不是原方程的增根，只要将其代入分式方程的最简公分母中去计算就行了。若最简公分母为0，则这个根是原方程的增根，若不为0，则这个根就是原方程的根。

2.分式方程的增根是如何产生的

分式方程增根产生的原因我们可从以下两方面理解：

一方面，根据同解原理：等式两边同乘以（或除以）一个不为零的数或代数式，所得的方程与原方程同解，解分式方程时，在将分式方程转化为整式方程的过程式中，由于在方程两边同时乘的是一个代数式，而这个代数式的值为不为0，是由其中所含的未知数的值来确定的。当我们解出的未知数的值使这个代数式为0的时候，就相当于在方程的两边同时乘的是一个0，所得方程与原方程不同解，因而这个未知数的值当然不是原来方程的根。

第二方面，在将分式方程转化为整式方程的过程式中，方程中未知数的取值范围扩大而造成的。如，分式方程 + = 中未知数的取值范围是x≠1和x≠-1，但通过去分母化为整式方程x-1+2（x+1）=4后，未知数的取值范围扩大为全体实数了，解整式方程x-1+2（x+1）=4得到的解x=1不在原方程取值范围内，因此它不是原方程的根。

3.分式方程的增根与分式方程无解有什么内在的联系

虽然分式方程有增根，不一定无解，分式方程无解，也不一定有增根，但两者，是解分式方程中的常客，常常结伴而行。分式方程无解有两种情形：一是分式方程式化成整式方程后，这个整式方程本身就无解，此时的分式方程是无解的，也不存在增根。二是分式方程化成的整式方程有解，但这个解是分式方程的增根，此时分式方程也无解。因此我们在考虑分式方程无解的时候，一定要考虑到增根的情况。

4.分式方程的增根在解题中的应用

分式方程的增根虽常常令同学们吃亏不小，但只要我们能正确认识，摸清增根本质，增根就会为我们服务的。下面举例说明：

例1:若关于x的方程 + =3- 有增根x=-1,求a的值。

分析：分式方程的增根x=-1虽然不是分式方程的根，但它却是分式方程化成的整式方程3（x+1）（x-1）+ax2（x-1）=3x（x+1）（x-1）-3x（x+1）的根，因此，我们只要把它代入化成的整式方程中就可以求出a的值了。

例2:已知关于x的方程+ = 有增根,求k的值。

分析：此题中没有指明增根是什么，因此我们就把分式方程所有可能的增根都要找出来（即所有使分母为0的根），不难看出它们就是x=1或x=-2，然后将它们代入化简后的整式方程来就可求出k的值了。

例3:若关于x的分式方程 - =1 无解，求a的值。

分析：由于分式方程无解的情形有两种，但也可能是由于这个解是分式方程的增根，而导致分式方程无解，因而在解决这个问题时要分类加以讨论解决。

解：原方程去分母得：x（x-a）-3（x-1）=x（x-1）

整理得：（a+2）x=3

当a+2=0，即a=-2时，方程（a+2）x=3无解，因而原方程无解。

当a+2≠0时，方程（a+2）x=3有唯一解x=

由x（x-1）=0得x1=0或x2=1因此原方程的增根可能是x1=0或x2=1。

若 =1，即a=1时，方程（a+2）x=3的解为原方程的增根，原方程无解。

若 =0，此方程无解。

综上所述：当a=-2时或a=1，分式方程无解。

（作者单位 贵州省沿河土家族自治县第四中学）