小波分析在重力学中的应用

摘要：本文在介绍小波分析基本理论的基础上，进一步讨论了小波分析在重力学各领域中应用的可能性及其应用前景。

关键词：小波分析 重力学 小波重力模型

引言

近年来，一种被称为小波变换的数学理论和方法在科学技术界得到了重视。小波变换综合了三角函数系与Haar系两者的优点。用小波基来分解任意函数，它具有良好的“变焦”性能。小波分析是一个新的现代分析学如泛函分析、数值分析、Fourier分析、样条分析等的完善结晶，被誉为“数学显微镜”，它是一种窗口大小不变但形状可变的时频局部化分析方法。小波变换能将各种交织在一起的不同频率的混合信号分解成不同频率的块信号，因而能有效地用于如信噪分离、编码解码、奇异性检测、压缩数据、识别模式以及将非线性问题线性化、非平稳过程平稳化等问题[1]。

小波分析是从信号处理中发展起来的，它能从信噪比低的信号中分离出本质的信号，并进行局部放大以便突出信号的特征，因而特别适合信号处理[2]。重力学中许多物理量都是随时间或空间变化的信号，如重力仪的测试数据、重力与重力场、固体潮、海洋地形、测高卫星轨道及雷达信号等等，故小波分析在重力学中有着广阔的应用天地。本文选择重力学中有代表性的问题，讨论小波分析应用的可能性及其应用前景。

1. 重力仪测试

重力仪测试的主要任务是：测试重力仪的各项性能指标并提出合理的改正或补偿公式，必要时可为仪器进一步校正提供正确的数据依据。仪器测试是一项具有试验性质的测量，其主要手段是在某一给定的设计环境下获取试验数据，通过加工分析数据以达到仪器测试的目的。

目前仪器测试中存在的主要问题是：仪器各项性能的测试指标远高于实际性能指标，改正公式难以正确合理地给出，甚至改正公式的物理意义也被歪曲，如非线性、周期误差等的改正公式不正确导致重力仪的实际精度比试验时低得多。造成这种情况的原因很大程度上是由于试验数据的获取方案与分析未能反映测试仪器的真实性能。

试验数据是一种随时间或空间变化的信号，而仪器测试就是研究试验信号的构成及其特征，仪器测试数据分析的主要手段是信号分析，故小波分析完全适合重力仪的测试数据分析。

小波分解可以表达非线性或更复杂的仪器读数运行方式，因而建立的改正模型可以是任意复杂的形式，小波滤波具有强去噪能力，试验信号的提取是本质充分的，故对试验环境下改正模型及仪器性能指标的确定准确可靠。

测定重力仪的周期误差就是确定频谱，小波谱是完全局部化的，理论上可抑制混频现象，准确可靠，优于Fourier谱。它的估计具有强的抗差能力，不受该谱所在时频窗外试验信号的测量误差影响，因而小波谱计算仪器读数的周期误差较Fourier谱方法准确可靠。

仪器读数的稳定性是重力仪性能的重要指标。小波分析能用来检测仪器读数系统的不正常行为，小波分析的奇异点定位及奇异度大小的测定功能可分析仪器在读数系统上的时间或空间的不稳定时刻或位置，测定其不稳定程度如何。用小波分析方法分析测试数据时，测试数据的长度不宜太短。

2. 建立小波重力模型

地面上的重力测量都是在离散点上进行的，且不同区域的重力点密度分布不均匀。内插与推估是由离散点数据获得地面上任一点数据的基本方法，其实质是运用滤波方法建立反映离散点数据空间相关关系的最佳模型，运用模型求得任一点的估值。

重力异常是地球物理及重力场研究中的重要物理量。最小二乘内插与推估重力异常是以重力异常协方差为唯一依据，而重力异常协方差是人为定义的，不可能全面反映不同重力点重力异常的空间相关性。此外，由于重力异常是由重力观测值减去该点的正常重力值求得的，而正常重力是由人为确定的椭球基准计算的，因此点与点之间重力异常的局部空间相关性受椭球基准影响而被消弱，不如其重力观测值的空间相关性更能反映重力的实际变化。总之，人为定义协方差和将重力观测值转化为重力异常，都会消弱重力点之间的空间相关性。众所周知，重力点的空间相关性表现在不同点空间数据的变化之中，其强弱与否，是否反映实际直接关系到内插与推估的精度。这说明用最小二乘法内插与推估未知点的重力异常比将空间相关蔽在重力观测值的变化之中而先内插与推估未知点的重力值再求得该点的重力异常的精度低。在地球物理勘探中，研究地壳运动规律或资源引起重力变化的机制时都需要研究表层空间的重力变化特征。因而建立地球表层空间小波重力模型对大地测量及地球物理有关问题的研究都是十分重要的。而小波基能用线性方法展开表层空间重力，从而表达任意复杂的空间相关性。

小波变换的时频局部化分析方法使得表层空间小波重力模型具有一系列优越的性能，如局部误差抑制能力，有较准确的谱性能，能表达任意复杂的空间相关性等，能将空间任意点重力之间的任意复杂程度的相关系数用小波基展开而作线性化处理因而能很好地表达非线性、非平稳等复杂的空间重力相关关系，从而克服了最小二乘内插与推估中须人为给定模型的形式及定义协方差的重大缺陷等等，因此表层空间小波重力模型本质地反映了表层空间的全部有用信息，因而推估准确可靠。此外，运用模型的奇异性检测和多分辨分析的功能可以分析局部地形对重力的影响和地球浅层密度不均匀分布的存在性等信息。显然，表层空间小波重力模型可很好用于地形改正。

3. 地球引力场的小波系数展开

地球引力场的小波系数即位函数的小波变换，因此求引力场小波系数的关键是求大地测量边值问题解的小波变换。我们知道，小波变换的实质是积分变换，而积分变换法可用来求解大地测量边值问题，有两个方案：

① 用小波变换法直接求解大地测量边值问题，所得解的小波变换即是位函数的小波系数。

② 用Fourier变换法求解重力场的边值问题，利用小波变换与Fourier变换之间的关系求得解的小波变换即位函数的小波系数。

引力场用小波系数展开，就可利用多分辨分析方法来分析引力场在不同尺度下的结构和性质，利用小波变换的奇异性检测功能来确定重力异常源的分布及异常程度如何，利用小波变换的空频局部化分析方法分析重力场的空间域及频率域的精细结构，从而提高重力场理论在地球物理及卫星大地测量学中的地位和作用。将引力场按小波系数展开有可能进一步提高重力场理论及其与地球物理及空间科学相关理论分析和解决问题的能力。

此外，将引力场用小波系数展开可以大幅度提高重力场的分辨率，至于能达到多高的分辨率应以最高分辨率的重力场不失真为原则。

4. 地球内部结构

小波变换的时频局部化功能决定了小波分析能用来分析引力潮随时随地的变化特征，小波分解可将引潮力位分解成分潮波，这种分解具有多尺度分辨能力和奇异性监测功能，分析潮汐的小波结构有可能得到地球内部构造运动的信息及固体地球（包含大气圈、水圈）对日、月和其它星体引力的内部反响的信息。

将地球引力场用小波级数展开从而分析重力场在不同尺度下的空间结构，有可能得到关于地球内部密度结构在不同尺度下的信息，运用小波分析的奇异性定位与数值测定方法有可能得到一些引力场源分布与重力异常成因的信息。

研究垂线偏差的小波结构有可能得到一些近地面构造和地壳均衡等信息，而空间异常的小波结构可能提供全球性深部构造的信息，布格异常的小波结构可能提供区域性和局部性浅构造的信息。

研究地表重力的小波分量（可由表层空间小波重力模型得到）与对应的大地水准面高小波分量（可由引力场的小波分量求得）之间的关系，有可能会改善地壳均衡模式，有望不通过假设而根据上述关系间接计算地壳均衡。

5. 卫星轨道分析

卫星信号都是随时间或卫星轨道空间变化的信号。将卫星轨道摄动按小波级数展开可以得到卫星轨道的精细结构，可能会进一步改善轨道信号的滤波、轨道信号的空频结构分析、揭示各种保守的和非保守的摄动源的存在与影响规律、轨道改进及星历预报等效果或能力。

将引力场用小波级数展开，有可能进一步改善用卫星大地测量方法研究地球内部密度分布不均匀性、确定重力异常源在地球内部位置的能力，且有可能提高卫星轨道对地球引力场的敏感性，这无疑是令人鼓舞的。

6. 其它

分析地球动力学参数（如岁差、极移和自转速度变化等）的小波结构有可能得到一些地球内部物质的物理性质，有可能进一步分析这些参数与地震、板块运动和其它地球物理现象之间可能存在的联系。

GPS监测网和精密水准被认为是目前用来监测地壳的水平运动和垂直运动最适当的大地测量方法。小波分析可用来处理一次重复监测的地壳变形运动的空间多尺度特征分析与反演和多次重复观测的随时间变化的多尺度变形特征分析与因素分析。用它来分析地质构造与异常变形的存在性及活动规律可能有效，分析地壳变形运动的空间多尺度特征有可能得到地壳变形传递（空间）与积累（时间）规律。此外，由于小波分析在处理信噪比低的信号时具有抑制噪声放大本质信号的功能，因此可以在一定程度上提高监测数据在时间或空间尺度上的分辨，而监测数据在时间和空间尺度上的分辨率是监测网的重要性能之一，也是地壳运动监测的关键技术。小波分析便适合于地震信号分析。

用小波分析高程时变与重力时变（非潮汐）有可能得到一些关于地下密度场与地壳构造运动的信息，从而有可能为用绝对重力方法建立区域精密高程基准提供可靠的数值依据[3]。

参考文献：

[1] 崔锦泰．小波分析导论[M]．西安交通大学出版社，1995．

[2] 王建军．小波分析理论及应用[R]．武汉大学，1992．

[3] 宁津生．地球形状及外部重力场[M]．测绘出版社，1998.