关于“数学是什么”的思考

“当人们发现一对雏鸡和两天之间有某种共同的东西（数字2）时，数学就诞生了。”（英国数学家罗素语）

那么数学是什么呢？高斯说：“数学是科学的皇后。”伽利略说：“数学是上帝用来书写宇宙的文字。”爱因斯坦说：“这个世界可以由音乐组成，也可以由数学公式组成。”

数学身份尊贵，地位显赫，无之不可。“科学皇后”“宇宙文字”“世界组成”都是诗化的语言和比喻的描述，从学术的角度上，并未回答出“数学是什么”。

让我们打开浙江师范大学张维忠教授的专著《数学文化与数学课程》：“数学对象终究不是物质世界中的真实存在，而是抽象思维的产物，它是一种人为约定的规则系统。为了描绘世界，数学家们总是在发明新的描述形式，除了在科学技术方面的应用外，同样还具有精神领域的功效（比如通常人们所说的数学观念，如推理意识、化归意识、整体意识、抽象意识、数学审美意识等）。因此，从以上两方面的意义上来说，数学就是一种文化。”

张维忠教授认为数学是一种文化，《数学文化与数学课程》一书的第四章《数学的文化价值》从六个方面加以阐述，即：“数学——打开科学大门的钥匙；数学——科学的语言；数学——思维的工具；数学——一种思想方法；数学——理性的艺术；数学——充满理性精神。”

无独有偶，东南大学博士生导师王元明教授的观点与之是英雄所见略同，其所著的《数学是什么》分四个要点阐述，意在回答“数学是什么”：1.数学是一种语言，一切科学的共同语言。2.数学是一把钥匙，一把打开科学大门的钥匙。3.数学是一种工具，一种思维的工具。4.数学是一门艺术，一门创造的艺术。

综合两位教授的观点，“钥匙”“语言”“工具”“艺术”等名词依然是譬喻。数学的本质是什么呢？甘肃政法学院计算机学院王汝发教授撰写了《关于“数学是什么”的哲学反思》一文，文中把对“数学是什么”的回答归为两类，摘要如下：

隐喻性回答：

1.数学是打开科学大门的钥匙。因为“数学是一门科学”这是我们大家公认的，而自己是打开自己大门的钥匙！这似乎有点解释不通，这对于“数学是什么”的问题来说又似乎什么都没说——试问哪一门学科不是打开科学大门的钥匙？

2.数学是科学的语言。数学和语言在许多方面是不同的，如孙宏安所说：“不仅外延有较大的不同，而且种属关系也不一致。”因此这种比喻不但没有解决数学问题的性质，甚至本身也有不能自圆其说之嫌。

3.数学是思维的工具。认为数学是思维的科学，一个是工具而另一个是科学，将二者联系起来就有点逻辑问题，因为科学与工具相差还是很大的。

4.数学是理性的艺术。数学与艺术有着很多的本质不同，因为数学讲究的是论证简洁、推理严谨、文体优美、思路清晰、形式对称等，而艺术则是一种创作，要求特立独行、张扬个性，不允许有雷同。

5.数学是一种理性精神。说数学是一种理性的精神，仍需重新面对“数学是什么”的问题。

实质性回答：

1.形式倾向性说法。数学是一门演绎科学。推动数学发展的主要动力是归纳而不是演绎，这种说法侧重于数学的演绎性而忽略了数学的经验性特点，并不能反映数学的全貌。

2.综合性说法。数学是一门演算的科学。直接将“演”“算”——演绎证明作为“数学是什么”来回答等于又回到原来的问题；其次是计算机技术已从数学学科中分离出来，已经成了一门独立的学科，因此这种定义仍不能令人满意。

3.对象性说法。数学是研究数与形的科学。这种定义在过去数学发展的一定时期内是极其精辟和完美无缺的，但数学的发展使其原来的定义已无法适应新形势下数学发展的需要。

反思终归是反思，好像并未立论。就此为止，我们仍未得到“数学是什么”的本质回答，究竟数学是不是一门演算的科学？

中国社会科学院哲学所教授林夏水撰文《论数学的本质》，认为：“‘演算’概括了数学研究的特点，反映了数学的经验性与演绎性及其辩证关系，我们有理由把它作为对数学本（性）质的概括，说‘数学是一门演算的科学’。”

随即，陕西师范大学数学与信息科学学院教授黄秦安提出反对意见。黄秦安教授在《我们应该如何认识数学的本质——对林夏水先生“论数学的本质”一文的商榷》一文中写道：

“从逻辑的角度看，‘数学是一门演算的科学’的结论既有定义过宽的缺点，又有定义过窄的缺陷。如果数学可以归结为‘演与算’，那计算机就是水平最高的数学家了。”

文摘摘到现在，我们并没有从学术的角度，把数学与哲学、数学与科学、数学与艺术作比较研究。当我们读到中国科学院数学研究所教授胡作玄的专著《数学是什么》时，我们有了新的认识。胡作玄教授从比较的视角着力分辨出数学本质的不同之处。

数学与哲学的区别：

1.哲学较大程度上是主观知识，而数学则是客观知识。

2.哲学围绕少数伟大的哲学家的论题发展，数学则是积累的、不断进步的、逐步系统化的知识领域。

3.哲学和数学各有其关联的范围：哲学关联的范围广，但强度弱；数学关联度强，它把许多领域转化为科学。

数学与科学的区别：

1.自然科学以现实世界的事物及对象为对象；数学则以抽象模型、抽象形式、抽象关系为对象，这样的对象可以来自自然界，也可来自社会，其后来自原有概念的演化及加工。

2.自然科学的目标是寻求对客观事实的解释，建立理论并提出可证实或证伪的预言，这些往往称为定律或规律；数学的目标则是寻求概念之间的逻辑关系，其结果形成定理或算法。

3.自然科学的确证必须靠观察和实验的经验证明，当然它也依赖于理论的结果与已知确证的理论不相矛盾。自然科学是站在理论和实验两条腿的基础上；数学只有一条腿，即逻辑的无矛盾性。

4.自然科学的“真理”有其近似性和相对性，而数学的真理则是绝对的和不朽的。

5.自然科学工作的本质是发现，数学工作的本质是发明。

数学与艺术的区别：

1.数学求真，艺术求美。真对数学来说是第一性的，而美是第二性的。