数学模型方法探究

数学模型方法，不仅是处理数学理论问题的一种经典方法，而且还是处理科技领域中各种实际问题的一般数学方法。现代电子计算机的广泛应用，使得数学模型方法已经广泛应用于自然科学与社会科学的一切领域。马克思曾说：“一门科学只有成功地运用数学时，才能达到了完善的地步。”如今数学在发展高科技、提高生产力及加强系统管理科学等方面的重要性已日益被人们所认识。新课程实施后，数学模型是贯穿于整个高中数学课程中的重要内容，这些内容虽不单独设置却渗透在每个模块或专题中。下面我就对数学模型的概念、类别和缺点、在初等数学中应用及建模能力的培养谈谈一些看法。

一、数学模型的概念

数学模型是针对或参照某种事物系统的特征或数量相依关系，采用形式化的数学语言，概括或近似地表述出来的一种数学结构。这种数学结构是借助于数学概念和符号刻画出来的某种系统的纯关系结构，所以在数学模型的形成过程中，已经用了抽象分析法，可以说抽象分析法是构造数学模型的基本手段。从广义上讲，数学中的各种基本概念如实数、向量、集合等可叫做数学模型，因为它们是以各自相应的实体为背景加以抽象出来的最基本的数学概念，这种可称为原始模型。如例1：自然数1、2、3、4…n是用来描述离散型数量的模型；例2：每一个代数方程或数学公式也是一个数学模型，如ax +bx+c=0。但狭义的解释，只有那些反映特定问题或特定的具体事物系统的数学关系结构才叫数学模型。一般的，在应用数学中，数学模型都作狭义讲，构建数学模型的目的就是为了解决实际问题。

二、数学模型的类别

1.按照建立模型的数学方法进行分类，如初等数学模型、几何模型、规划模型等。

2.按模型的表现特性，可分为确定性模型与随机模型、静态模型与动态模型、线性模型与非线性模型、离散模型与连续模型。

3.按照建模目的分，有描述型模型、分析模型、预报模型、优化模型、决策模型、控制模型等。

三、数学模型的缺点

1.模型的非预制性。实际问题各种各样，变化万千，这使得建模本身常常是事先没有答案的问题，在建立新的模型的过程中，甚至会伴随着新的数学方法或数学概念的产生。

2.模型的局限性。首先模型是现实对象简化、理想化的产物，所以一旦将模型的结论用于实际问题，那些被忽视的因素必须考虑，因此结论的通用性和精确性只是相对的。另外，由于人们认识能力和数学本身发展水平的限制，有不少实际问题很难得到有实用价值的数学模型。

四、建模的步骤

建模过程有哪些步骤与实际问题的性质、建模的目的等有关，下面我们先看两个例子：

例一：家用电器一件，现价2000元，实行分期付款，每期付款数相同，每期为一个月，购买后一个月付款一次，再过一个月又付款一次，共12次，即购买一年后付清，若按月利率8‰，每月复利计算一次，那么每期应付款多少？

这是一道关于分期付款的实际应用题，我们要求解就必须构建数学模型。通过分析，问题体现出的等量关系为分期付款，各期所付的款及各期所付的款到最后一次付款时所生的利息合计，应等于所购物品的现价及这个现价到最后一次付款时所生的利息之和。因此，设每期应付款为x元，那么，到最后一次付款时，

第一期付款及所生利息之和为x×1.008 ，

第二期付款及所生利息之和为x×1.008 ，

第三期付款及所生利息之和为x×1.008 ，

……

……

第十一期付款及所生利息之和为x×1.008，

第十二期付款及所生利息之和为x，

而所购电器的现价及其利息之和为2000×1.008 ，

由此x×（1+1.008+1.008 +…1.008 ）=2000×1.008 ，

由等比数例求和公式得：

x≈175.46（元）

也就是每期应付款175.46元。

例二：关于物体冷却过程一个问题：设某物体置于气温为24℃的空气中，在时刻t=0时，物体温度为u =150℃，经过10分钟后物体温度变为u =100℃，试确定该物体温度u与时间t之间的关系并计算t=20分钟时物体的温度。

为了解决此问题就要构造一个数学模型，首先由于该问题涉及必然性现象，故要选取一个确定性数学模型。又为了反映物体冷却过程这样一个物理现象，还必须应用牛顿冷却定律：在一定温度范围内，一个物体的温度变化率恒与该物体和所在介质之温差成正比。在该问题里，物体温度u应是时间变量的连续函数，记为u=u（t）。对初始温度u 而言，温差为u -u （u 为空气介质温度）。我们又知道，应变量（函数）的变化率可用导数概念来表述，于是物体冷却过程（现实原型）的数学模型就是如下形式的微分方程：

=-k（u-u ），k为比例常数，在具体问题里可确定下来。

具体问题要求出函数关系u=u（t）的显式表示。易得

log （u-u ）=-kt+c

u-u =A•e ，其中A为常数，代入t=0时，u=u ，则u -u =Ae°=A，

u=（u -u ）e +u 这就是方程解。

有了一般模型，只要把实际问题里的具体数据一一代入即可。

100=（150-24）e +24

k=0.051

因此对具体问题有特殊模型为u=24+126e ，将t=20代入则得u（20）=24+40=64答案即为64℃。

所以我们建立数学模型的步骤可以归纳如下：

模型准备：首先要了解问题的实际情境，情况明白才能方法正确。总之，要做好建模的准备工作。

提出问题：通过恰当假设，将问题进行简化。

模型构成：根据分析对象的内在规律和适当工具，构造各个量（常量和变量）之间的等式（或不等式）关系或其它数学结构。建模时应遵循的一个原则是，尽量采用简单的数学工具，这样才有利于更多的人了解和使用。

模型求解：可以采用解方程、逻辑运算、数值计算等各种传统方法，也可使用近代的数学方法如计算机技术等。

模型检验：把数学上分析的结果翻译回到实际问题，并用实际的现象、数据与之比较，检验模型的合理性和适用性。若合乎则得出结果：若不合乎实际则应重新建模，直到检验结果合乎实际为止。

四、有关数学建模能力培养的建议

在分析了数学建模的物点、过程之后，我们知道用数学模型解决实际问题首先是用数学语言表述问题，即构造模型，这就需要有广博的知识、足够的经验、丰富的想象力和敏锐的洞察力。

1.教师应努力成为数学建模的先驱者，根据教学内容和学生的实际情况提出一些问题供学生选择，如关于哥尼斯堡七桥问题；或者提供一些实际情境，引导学生提出问题，如银行的分期付款问题、公平的席位分配、传染病的随机感染、线性规划等问题。特别要鼓励学生从自己生活的世界中发现问题，提出问题。

2.数学建模可采取课题组的学习模式，教师应引导学生学会独自思考，分工合作，交流讨论，互相帮助。

3.数学建模活动中应鼓励学生使用计算机、计算器。

4.教师应指导学生完成数学建模报告，并及时给出评价，评价内容应坚持创新性、现实性、真实性、合理性、有效性，这几个方面不必追求全面，只要有一项做得好就应该予以肯定。

总之，数学建模可以看成一门艺术，艺术在某种意义下是无法归纳出几条准则或方法的，一名出色的艺术家需要大量的观摩和前辈的指导，更需要自身实践，愿我们的教师增强建模意识，激发学生对数学建模的兴趣，为使其今后具备较高的建模能力而努力。

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”

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