最优价格的数学模型

[摘 要] 本文主要阐述了最优价格模型在经济学中的指导意义。

[关键词] 经济学 数学模型 最优价格

一、引言

建立数学模型是沟通摆在面前的实际问题与工作者掌握的数学工具之间联系的一座必不可少的桥梁。将数学方法应用到实际问题中时，往往首先是把这个问题的内在规律用数字、图表或者公式、符号表示出来，然后经过数学的处理得到定量的结果，以供人们作分析、预报、决策或者控制，这个过程实际上就是一个建立数学模型的过程。数学和经济的联系是十分紧密的，而对数学的应用往往要通过数学模型。下面的最优价格模型是我们经济学中比较经典的一个数学模型，从中也可以看出数学模型的建立对经济学有很重要的意义。

二、最优价格模型

1.模型假设:最优价格，简单的说就是使商家或企业获得最大利润的产品的价格。对于最优价格的问题，应该是每个企业关注的。如果一个厂长有权根据产品成本和销售情况制定商品价格的话，他当然会寻求能使工厂利润最大的所谓最优价格。本文所讨论的最优价格模型，是指在产销平衡状态下的模型，这里的产销平衡是指工厂产品的产量等于市场上的销售量。为了模型的更加合理性，这里假设产品的销售量依赖于产品的价格，产品的成本与产品的产量也是相关联的。

2.模型建立:利润是销售收入与生产支出之差。假设每件产品售价为p,成本为q,销售量为x（与产量相等），总收入与总支出分别是I和C,则可以得到

I=px（1）

C=qx (2）

另外，我们知道在市场竞争的情况下销售量x依赖于价格p，因此销售量应该是价格的函数，记作

x=f(p) （3）

这里f称为需求函数，是p的减函数。

我们再考虑成本与产品数量的关系。通常情况下，成本是随着产品的数量逐渐降低的，因此可以认为产品的成本是产品数量的函数，记作

q=Q(x) （4）

其中,我们把Q叫做成本函数,是x的减函数。

这样,x和q都可以由p来确定。可以得到销售收入和生产支出C都是价格p的函数,设利润为U,则可以表示为

U(p)=I(p)-C(p) （5）

其中，I(p)=px=pf(p)，C(p)=qx=Q(x)x=Q(f(p))f(p)。

使利润U达到最大的价格就是最优价格。设最优价格为p*,那么可以得到当dU/dp=0时p的值即为p*。即有dU/dp=dU/dp,当p=p*时。

我们把dI/dp称为边际收入（价格变动一个单位时收入的改变量）,dC/dp称为边际支出（价格变动一个单位时的支出的改变量）。上式表明,最大利润是在边际收入等于边际支出时达到的。

为了得到进一步的结果，本文假设出需求函数和成本函数的具体形式。设需求函数是简单的线性函数

f(p)=abp a,b>0 (6）

其中,a可以理解为这种产品免费供应(p=0）社会的需求量,称为“绝对需求量”。b表示价格上涨一个单位时销售量下降的幅度（当然也是价格下跌一个单位时销售量上升的幅度）,它反映市场需求对价格的敏感程度。

设成本函数为Q(x)=m+1/(tx+n)m，t，n>0（7）

其中，m表示产品的最底成本，t表示产品数量增加或减少带来的幅度，n调节常数，即产品的最大成本为(m+1/n）。

将(1)～(3)和(6），(7)带入(4)式可得

U(p)=I(p)-C(p)=pf(p)-Q(f(p))f(p)

=(a-bp)[p-m-1/(ta+n-tbp)]（8）

用微分的方法可以求出使U(p)最大的最优价格。由dU/dp=0式和(8)式可以得到btp-(2btn+2abt+btm)p+(n+2atn+at+2abtm+2btmn)p-m(n+ta)n=0(9）

这是一个关于p的三次方程,对于实际问题,当得到a、b、m、n、t的数值带到(9)式中,再用相应的数学方法求出p*。在实际的工作之中,a和b可以由价格p和销售量x的统计数据用最小二乘法拟合来确定。m和n实际上是已知的常数，t也是根据产量的多少可以得出的。对于(9)式的求解在有些时候可能不容易得到精确的数值,我们可以根据实际情况得到具有一定精度的近似值。

三、总结

除了上述最优价格模型，经济学中的弹性理论，金融工程中的期货期权理论，最优化和影子价格都是经济和数学的完美结合，数学模型为经济学的研究开辟了一条宽阔的大路，同时也使经济学从定性研究向定量研究转化，更加具有理性和发散思维，正是数学和经济学的结合为社会科学的发展增加了动力，也为社会创造了很大的物质财富，相信数学模型这个工具将来会给经济学更广阔的发展空间。

参考文献:

[1]高鸿业:西方经济学[M].北京:中国人民大学出版社,2004

[2]迪迪埃・科森 于格・皮罗特,王唯翔 殷剑峰 程 炼等译:高级信用风险分析:评估、定价和管理信用风险的金融方法和数学模型[M].北京:机械工业出版社,2005

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文