化归思想探求立体几何问题

一、位置关系的转化

线线、线面、面面平行与垂直的位置关系是立体几何中的一个重点内容，其精髓就是平行与垂直位置关系的相互依存及转化，在一定条件下不仅能纵向转化：线线平行(或垂直) 线面平行(或垂直) ；面面平行(或垂直)，而且还可以横向转化：线线、线面、面面的平行 ；线线、线面、面面的垂直。这些转化关系在平行或垂直的判定和性质定理中得到充分体现。平行或垂直关系的证明(除少数命题外)，大多可以利用上述相互转化关系去证明。

例1 如图，设矩形ABCD，E、F分别为AB、CD的中点，以EF为棱将矩形折成二面角 。求证：平面 ∥平面 。

解法一(纵向转化)：

AE∥DF，AE 平面 ，

AE∥平面 。

同理， ∥平面 ，

又AE∩ ＝E，

平面 ∥平面 。

解法二(横向转化)：

AE∥EF， EF，且AE∩ ＝E，

EF平面 。

同理，EF平面 。

平面 ∥平面 。

评注：“要证线面平行，先要找线线平行或面面平行”作为思维模式，而用平行四边形或三角形内平行截割来找线线平行是平面几何中的规律。“要证线面垂直，先证线线垂直”，“要证线线垂直，先证线面垂直”是立几中解题的两句口诀和两个解题“模式”，其中线面垂直的关系是线线垂直、面面垂直的纽带。

二、降维转化

由三维空间向二维平面转化，是研究立体几何问题的重要数学方法之一。如线面垂直的判定定理转化为三角形全等的平面几何问题、多面体和旋转体的侧面积公式的推导(除球面和球冠外)、侧面上最短线问题都是通过侧面展开转化为平面几何问题等等。其实，立体几何中的三种角(线线角、线面角、二面角)和四种距离(线线距、点面距、线面距、面面距)从定义到具体的计算以及三垂线定理都体现了空间到平面的转化。

例2 如图，设正三棱锥 的底面边长为 ，侧棱长为 ，过 作与侧棱 、 都相交的截面 ，求这个截面周长的最小值。

解：沿侧棱SA将三棱锥的侧面展开(如图)，

求 周长最小值问题就转化成了求 、 两点间的最短距离。

设 ，则由余弦定理得 ，

所以 ，可求得 ，

即所求截面周长的最小值为 。

评注：把曲面上的最短路线问题利用展开图转化为平面上两点间距离的问题，从而使问题得到解决，这是求曲面上最短路线的一种常用方法。又如异面直线所成的角、线面角、面面角的计算，最终都是转化为平面上两相交直线成的角来进行的。实现空间问题向平面问题转化的方法很多，常用的有平移法、射影法、展开法和辅助面法等等。

三、割补转化

“割形”与“补形”是解决立体几何问题的常用方法之一，通过“割”或“补”可化复杂图形为已熟知的简单几何体，从而较快地找到解决问题的突破口。如教材中斜棱柱侧面积公式的推导，就是通过割补法转化为直棱柱后进行的。

例3 三棱锥 中，已知 ， 、 的公垂线段 ，求证：三棱锥 的体积 。

解法1：如图1，连结AD、PD，

解法2：如图2，以三棱锥 的底面为底面，

侧棱PA为侧棱，补成三棱柱 ，

连结EC、EB，则易证AP平面EBC，

解法3： 如图3，将 补成平行四边形 ，

可利用 ，

评注：割\补转化是解决立体几何问题常用的方法之一，对同一几何体既可进行合理分割，又可实施有效的添补。

四、等积转化

“等积法”在初中平面几何中就已经有所应用，是一种很实用的数学方法与技巧。立体几何中的“等积转化”(或称等积变换)是以面积、体积(尤其是四面体的体积)作为媒介，来沟通有关元素之间的联系，从而使问题得到解决。

例4 如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E、F分别为棱AA1与CC1的中点，求四棱锥A1－EBFD1的体积。

略解：易证四边形EBFD1是菱形，连结A1C1、EC1、AC1、AD1，则

VA1-EBFD1=2VA-EFD=2VF- A1ED1=2VC1- A1ED1=2VE- A1C1D1=VA-A1C1D1= V正方体AC1＝ a3

五、抽象向具体转化

立体几何的许多抽象的定理、结论源自具体的生活实际，源自平面几何，要学会联想实际模型，借助可取的具体之材来建立空间想象。

例5 A、B、C是球O面上三点，弧AB、AC、BC的度数分别是900、900、600。求球O夹在二面角B－AO－C间部分的体积。

略解：此题难点在于空间想象，比较抽象。可以如此读题：条件即∠AOB＝∠AOC＝900，∠BOC＝600，然后给出如图，则可想象此题意即为用刀沿600二面角，以直径为棱将一个西瓜切下一块，求这一块西瓜的体积，答案是 。

问题就变得直观具体多了。

例6 三条直线两两垂直，现有一条直线与其中两条直线都成600角，求此直线与另外一条直线所成的角。

略解：由条件想象到长方体的三条棱也两两垂直，

于是问题可以转化为如下问题：长方体一条对角线与

同一顶点上的三条棱所成的角分别是600、600、α，

求α的大小。

根据长方体的性质，有COS2α＋COS2600＋COS2600＝1，