概率统计学中渗透数学实验的探索①

摘 要：针对独立院校概率统计课程的教学需要，将Excel引入到课程教学的数学实验中，从随机模拟实验、随机变量的二项，泊松，均匀，指数，正态等分布的概率计算、参数估计和假设检验等方面对Excel的应用进行了初步的探讨，不仅淡化理论分析与严谨的证明，丰富教学内容，增强知识应用，更能提高教学效率，培养学生应用软件和解决问题的能力。

关键词：Excel 概率统计 独立院校

中图分类号：G71 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2017）06（c）-0155-05

为了使独立院校学生毕业步入职场后更快适应现代化经济管理工作，并形成个人独到的工作能力和职业素质，独立院校的教学面临着新的挑战。尤其对于应用型为主的独立院校学生，基础课教学要对今后就业中所需要的知识和技能要加强要求，而在理论分析与严谨的证明上可适当淡化要求。在概率统计的教学中，传统的教材对内容进行诸多的数学推导和演算，学生因为基础有限望而生畏，并且这种概念化的教学方法使许多学生难于牢固掌握所学内容，同时教师也因为辛苦演算后学生茫然而感到倦怠，让原本情趣盎然的课程变得乏味，严重影响了教与学的融合。改变这种被动局面的根本出路在于改革传统的课堂教学方法，充分利用现代化的教学手段，利用计算机实验来配合课堂理论讲授，使学生掌握牢固而灵活的知识。这样，既加强了理论的直观性，改善了教学效果，又训练了学生运用理论于实践的能力。随着计算机应用的日益普及，这种双管齐下、相辅相成的教学设想已经成为可能[1-5]。

凡带有统计功能的软件都可作为概率论与数理统计数学实验的软件，如：Matlab，SAS，SPS等，这些软件功能强大，能快速输出结果，节省实验的时间，但这些软件对用户要求较高。对于独立院校的学生而言，概率统计课程往往课时较少，要求学生在短时间内掌握上述专业统计软件有很大难度。而Excel一直被认为是“为Windows编写的最好的应用程序”[6]，是最普及的应用软件之一，并且功能强大，直观简便的数据输入界面也使操作者应用自如，附带的分析工具可以为数理统计计算带来极大便利，提高了计算效率。所以，Excel软件是很多统计学专家推崇的普及型应用软件，将它作为概率统计教学的辅助工具是一个较好的选择，可调动学生的学习热情，活跃基础课教学，提高教学质量。

1 Excel在模拟随机实验中的应用

概率统计的整个理论体系建立在几条基本的公理基础之上，具有严密的逻辑思维系统和丰富多彩的理论，所以要求学生掌握纯数学的逻辑思考方法，同时概率具有统计定义，还可以让学生通过实验和观察的思维方式对概率有更刻的理解。尤其当遇到理论性很强的定理或者求解比较复杂繁琐的概率题时，若通过设计计算机实验来演示此类过程，可在短时间内多次快速重复，便可让学生对试验结果的随机性和规律性获得直观而生动的理解效果。Excel软件集成了VBA语言开发环境，编写简单，可直接调用Excel本身具有的各种内置函数，表格本身可以直接作为输入、输出界面，能与Excel无缝集成[6-9]。基于此，可利用Excel中的VBA语言编写程序来模拟随机试验，从而得出结论。

例1 箱子内有40张奖券，其中有20张奖券能中奖，另外20张奖券空白，甲乙两人轮流在箱子中抽取奖券，每次只能抽一张且不放回，问甲先中奖的概率大还是乙先中奖的概率大？

解：P（甲先中奖）=20/40+（20/40）*（19/39）*（20/38）+ （20/40）*（19/39）*

（18/38）*（17/37）*（20/36）+（20/40）*（19/39）*（18/38）*（17/37）*（16/36）*（15/35）*（20/34）+……+（20/40）*（19/39）*（18/38）*（17/37）*（16/36）*（15/35）*（14/34）*（13/33）*（12/32）*（11/31）*（10/30）*（9/29）*（8/28）*（7/27）*（6/26）*（5/25）*（4/24）*（3/23）*（2/22）*（1/21）

此}可利用概率树将甲乙先中奖所有情况罗列清楚，情况多而繁琐，尤其是当奖券数增多时该计算方法不具有推广性，若不借助计算机，要计算甲乙分别先中奖的概率相当有难度。所以我们利用Excel中的VBA语言编写程序模拟上述随机试验：

Public Function prowin（） As String

Dim n， m， k， i， j， y， p As Integer

Dim jia， yi As Double

n = 100000

m = 0

k = 0

For i = 1 To n

j = 0

y = 0

p = 0

Do While j = 0 And y = 0

If Round（Rnd（） * （40 - p）， 0） < 20 Then

j = j + 1

ElseIf Round（Rnd（） * （39 - p）， 0） < 20 Then

y = y + 1

Else

p = p + 2

End If

m = m + j

k = k + y

Loop

Next i

jia = m / n

yi = k / n

prowin = "甲" & jia & " 乙" & yi

End Function

显示结果：甲0.66173 乙0.33827

例2 参加一个游戏，有三扇门，一门后有一辆车，另两门后有羊，主持人让你随意挑选。当你选择了一扇门后，主持人随后打开一扇后面有羊的门。此时问是否换到剩下的一扇门？为什么？概率是多少？假设主持人知道汽车在哪扇门后，他是故意打开羊的门给你看。

这是一个曾经在美国《检阅》杂志的“玛丽莲”专栏上介绍过的有趣的概率问题，当时在美国引起了轰动。从二年级的小学生到大学的博士都争相参加这个题目的讨论。有趣的是，在给该专栏主持人玛丽莲小姐的10000多封来信中，大约有1000封是具有博士头衔的读者写的，他们认为玛丽莲小姐的答案是错的，而事实上，错的恰恰是博士们。通常的想法是，主持人既然把没有车的那扇门打开了，剩下的两扇门后面是车是羊的可能性各占一半，坚持原来的选择也好，换选也好，选中车的机会都是二分之一。 玛丽莲小姐公布的答案是：“应该换选另一扇门。”可以这样考虑，第一次选择选中车的情况下（可能性1/3），换门得不到车，故这个可能性为1/3；第一次选中羊的情况下（可能性2/3），换门一定会得到车，故此时可能性为2/3。由此可见，最佳策略就是换门，得到车的可能是坚持最初选择门的两倍。

此题中很多学生错误地认为主持人去掉一个门，等于让观众在剩下的两个门里选一个，二选一，自然换与不换的概率都是1/2，要说明这类观点的错误之处很不容易，学生也不易理解。所以我们利用Excel中的VBA语言编写程序模拟上述随机试验：

Public Function gameresult（） As String

Dim n， m， k， i As Integer

Dim change， unchange As Double

n = 10000

m = 0

k = 0

For i = 1 To n

If Int（3* Rnd（）） =0 Then

m=m + 1

ElseIf Int（3* Rnd（））=1 Then

k = k + 1

Else

k = k +1

End If

Next i

change = k / n

unchange = m / n

gameresult = "换" & change & " 不换" & unchange

End Function

显示结果：换0.6668 不换0.3332

2 Excel在利用随机变量分布计算概率中的应用

在概率论的教学中，对于离散型随机变量累积概率的计算和连续型随机变量概率的积分运算，教师无法面面俱到地M行演示，学生往往半途而废没有计算出概率的最后结果或者计算出错误的结果，甚至少数学生用积分求出概率是负数或大于1的数而全然不知。所以我们将黑板演算与借助Excel里的统计函数相结合的方式提高了教师教学的信息量，同时也训练了学生借助软件提高计算结果的正确性。

例3 大学英语六级考试（旧）是为全面检验大学生英语水平而设置的一种考试，具有一定的难度。除英文写作占15分外，其余85道多种答案选择每题1分，即每一道题附有A，B，C，D四个选择答案，要求考生从中选择最佳答案。这种考试方式使有的学生产生想碰运气的侥幸心理，那么靠碰运气能通过英语六级考试吗？假设英文写作恰好得9分。

解 按及格计算，85道选择题必须答对51道题以上。如果瞎猜测的话，则每道题答对的概率为1/4，答错的概率是3/4。显然，各道题的解答互不影响，因此，可以将解答85道选择题看成85重贝努利试验。设答对的题数为随机变量X，则靠碰运气能通过的概率为：

此题属于离散型随机变量的二项分布，若用手工计算不现实，用一般计算器计算在概率累加上比较繁琐，学生往往就搁置过程没有结果，对碰运气通过的概率大小没有清楚的认识，其中多数学生的想法和最终的概率结果具有很大的偏差。我们利用Excel中的统计函数BINOMDIST函数（二项分布），格式为：BINOMDIST（Number_s，Trials，

Probability_s，Cumulative），其中的参数对应分别为实验的成功次数，实验的总次数，一次实验成功的概率，最后一个参数是否累计：若填写“true”，则实现概率的累加，从随机变量能取到的最小值的概率累加到实验成功次数的概率；若填写“false”，则单求实验成功次数为当次的概率。上述例题中计算公式为：=1-BINOMDIST（50，85，0.25，True），计算结果为：0.00000000000832，详细见图1。

例4 到某服务单位办事总要排队等待。设等待时间T是服从参数为1/10的指数分布的随机变量，某人到此处办事，等待时间若超过15 min，他就愤然离去。设此人一个月去该处10次，求至少有2次愤然离去的概率。

此题涉及连续型随机变量与离散型随机变量，是指数分布和二项分布相结合的概率题。由于本独立学院本科生合班上课，人数众多，文理学生混合，水平参差不齐，整体数学基础不佳，这种现状导致大量教学时间花在基本运算上，而运算能力强的学生很多时间处于闲置状态，不满足信息量的现状，这样不利于调动学生学习的积极性与能动性， 影响了教学效果。因此教师可先黑板演示积分过程来计算概率，同时可利用Excel中的统计函数EXPONDIST函数（指数分布），格式为：EXPONDIST（X，Lambda，Cumulative），其中的参数对应分别为区间点，指数分布的参数，最后一个参数是否累计：若填写“true”，则求出分布函数值，即求出随机变量从无穷取到区间点的累加概率，若填写“false”，则出概率密度函数值。上述例题中计算公式为：=1- EXPONDIST（15，0.1，True），计算结果为：0.22313。再利用二项分布的统计函数，其中参数“一次实验成功的概率”，引用指数分布的计算结果，得到最终结果为：0.689946。详细见图2和图3。