线性规划在经济中的实用性

作者：吴可杰姜近勇单位：南京大学经济系

线性规划理论广泛应用于军事、经济、工业、农业等国民经济的各个部门，除了这种方法能解决各个部门提出的生产力布局、作业计划、原料配制、产品搭配等实际问题外，还因为线性规划模型本身，以及它们的解题方法和应用分析，能够比较容易地为一般没有较深数学基础的经营管理人员所理解和掌握，特别是借助于电子计算机的专用程序，不仅能加快运算速度，而且能解决上百.上千个变量的复杂模型;线性规划不仅能求得问题的最优解，而且还可以提供经济分析的数据资料。在线性规划的应用分析中所涉及到的一个重要概念是影子价格，它是数学规划理论与经济分析相结合的产物。影子价格通常反映资源最佳利用状况，是对资源的边际收益或衣品的边际成本的一种估价。利用线性规划和影子价格可以为区域经济规划提供有用的数量信息。本文试图用数学语言来说明线性规划和影子价格，并讨论它们的经济意义以及在区域经济规划中的应用。

一、线性规划模型的一般形式是:在约束为:（式略）这是一对具有特殊性的配对的规划模型，我们可以把一个问题称为“原问题”，另一个问题称为“对偶问题”。下表总结出了从一个已知的原问题转换为对偶问题的规律，这些规律是假设已经有了一般模型的方程式，然后根据这些规律建立它的对偶模型(见表)。对偶问题与原问题是一个问题的两个方面，对偶问题可以从不同角度提供观察问题的另一种方法，有时还可以简化运算。在利用单纯形法解原问题时，同时就可以得到其对偶问题的解。反之，求得对偶问题的解，同时也就可得到原问题的解。它们之间的一个重要关系即是:若原问题与对偶问题均属可解，且原问题最优解为（式略）即:刘.偶问题与原问题的目标函数最优值相等。所谓影子价格，就是指由于线性规划模型中约束条件右端项B的某一分量(比如bi，i二l，2，…，n)增加一个单位而引起的目条件下，’原问题与对偶问题的目标函数最优值是相等的，即:（式略）如果bi增加一单位，则目标函数最优值就会相应增加y，’单位，而yj件即为对偶问题最优解Y’的第i个分量。由此可见，第i项约束条件的影子价格就是其对偶问题最优解的第宜个分量。而且从上式还可以看出，只要对偶问题的最优解不变，其影子价格也就保持常数值不变。影子价格与商品价值没有任何联系，它纯粹是一种计算价格。根据国民经济既定的计划目标及一定时期资源的可供给量和消费需求，可以建立一系列线性规划模型，计算出各种资源的影子价格，然后在影子价格的基础上形成计划价格作为经济调节的工具，以保证资源的利用最大限度地符合计划目标。这样制定的价格在苏联称为“最优计划价格”，这种价格理论突出资源的有限性，从而强调资源的节约和合理配置。苏联最优计划价格理论的主要代表人物有康托洛维奇、诺沃日洛夫、赞多连柯等，他们对最优计划价格理论进行了逐步深入的研究。’1966年11月，苏联科学院经济数学研究所所长费多连柯在其所作的报告中对最优计划价格的形成过程进行了详细的说明。他假定国民经济分为企业、部门、中央三个层次，具体的价格形成过程为:1.企业将其生产能力与投入系数以实物形式报到部一级，进行汇总，形成综合指标。2.部门将综合指标报送中央，经再一次汇总，得到部门间的生产和消费的约束条件，根据国民经济发展的最优性标准妥在中央一级求解线性规划，决定各部门的资源消耗与产品产量，并根据资源的影子价格确定相应的资源与产品价格。3.资源与产品的价格下达到部门、企业，部门与企业在利润最大化的目标下决定自己的生产计划，再次报送上去，到达中央层次汇总。4.中央将自己的原始计划与部门报来的计划进行对比调整，供过于求的资源价格要降低，反之则提高。然后再次下达价格。如此经过多次调整后，一定能找到一组资源影子价格及据此确定的资源和产品价格卜使资源得到最优利用，社会需要得到最大常‘足。费多连柯认为，借助电子计算机，能使这种多次反复的计算在较短时间内完成。

二、区域经济规划是社会主义建设中;一个长期的、具有战略意义的工作。合理.的区域经济规划是高速度发展我国社会主义经济、加速实现四化的需要。它有利于充分利用各地区的自然资源、劳动力资源等生产要素，促进其经济的发展;有利于加强各地区之间的协作，建立其不同水平各具特点的国民经济休系;有利于促进工农、城乡联系，逐步消除工农之间、城乡之间的本质差别;此外，对于提进少数民族地区、山区和边远地区的经济发展、对于巩固和加强国防建设也具有重要意义。进行区域经济规划，要从国家关斗“长远规划的总体设想这一全局出发，根据各地区的自然资源和经济条件，确定其工业发展的方向，结构、资源的综合利用、工业的合理布局以及其它各项设施的合理配置。因地制宜、发挥地区优势是区域经济规划首先要解决的问题。地区之间，由于自然和社会因素的差别，经济发展不平衡是一种正常现象。在我国社会主义建设中，曾一度片面追求平衡、追求“大而全”“小而全”的经挤体系，造成地区经济结构不合理，社会经济效益非常差。例如，为了扭转北煤南运的局面，曾在江南贫煤区发展煤炭工业，其结果不仅耗费大量投资，而且问题也没得到解决。如果各地区都能发挥自己的优势，扬长避短，择优发展，宜粮则粮，宜牧则牧，宜钢则钢，宜纺则纺，我国经济实力就会有很大提高，生产力布局就会得到很大改善。利用线性规划.可以帮助我们确定不同地区的经济发展方向。假设甲乙两地分别拥有资金j0千元，甲地每千元投资生产某种原材料，年产量可达300吨，而投资加工这种原材料，则年加工成品量为100件;乙地每千元投资用于生产这种原材料，年产量只有10。吨，而投资用于加工这种原材料，则年加工成品量可达300件。甲地每百吨原材料的净产值为3万元，乙地为2万元;甲地每百件加工成品的净产值为2万元，乙地为4万元。怎样确定两地的经济发展方向才合理呢?对两个不同经济区，分别建立两个独立的线性规划模型‘以文，、x:分别代表甲地原材料和加工成品的计划产量，（式略）分别代表乙地原材料和加工成品的计划产量。用Z、Z”分别攀表甲乙两地的净产值。甲地的规划模型为:在约束为:（式略）求解可得出甲地规划模型的最优解为二二30百吨，x:=。百件，最大净产值为Z二9。万元。‘乙地规划模型的最优解为（式略）“加百件，最大净产值为Z’二120万元、这就是说，甲地专门生产原材料，乙地专门加工原材料，、两地的净产值都达到最大值。又由于甲地资金的影子价格为W=9，乙地资金的影子价格为W’二12，如果要追加投资的话，应优先考虑向乙地投资，即向专门加工原材料的地区投资。当然，扩大加工工业的生产规模，必须要保证原材料的供应。•但是，在上面的线性规划模型中，目标函数中的净产值系数是根据资源和产品的现行价格确定的。而我国现行的价格体系，由于过去长期忽视价值规律的作用以及其它历史原因，存在着相当紊乱的现象，不少商品的价格既不反映价值，也不反映供求关系，其中，特别是矿产品、原材料和能源价格偏低。按现行价格计算，生产原材料和能源收益不大，甚至亏损，而生产加工业品则利润很大。例如，开采铁矿的资金盈利率只有5%，煤矿则更低，炼钢、炼铁也很低，而轧钢的资金盈利率有的品种达20%~30%，有的甚至高达如%~70%。由于原材料和能源价格偏低，一方面难以调动原材料和能源开发区努力增产的.积极性，原材料和能源开发区缺少活力。另一方面造成原材料和能源消耗高的加工部门相对膨胀，这些部门利用廉价的资源获得高额的利润，而.且由于原材料和能源太便宜，加工部门不重视原材料和能源消耗管理，浪费严重。这种情况势必造成原材料和能源供求不平衡、严重短缺，影响整个国民经济。就能源来说，由于燃料动力供应不足，全国有l/4的企业开工不足，有20%~30%的设备能力不能充分发挥作用，一年大约要损失工业产值750亿元。因此，不改革现行不合理的价格体系，就不能正确评价各地区的经济效益，促进地区经济合理发展。即使借助于某种科学的方法做出地区经济规划，也还是不切实际的。在上面‘的例子中，由于原材料价格偏低，造成甲地(资源开发区)比乙地(加工工业区)的资金影子价格低，同样的投资在甲地不如乙地的收益大，势必造成投资向乙地转移。如果将原材料价格提高，使其净产值达到每百吨4万元，则甲地与乙地的资金影子价格相等，都为12，这时如果追加投资，两地的机会就是相同的。又假设乙地只使用甲地生产的原材料，其供应量为10(百吨)，且原材料消耗系数为0.5，则乙地线性规划模型的约束条件变为:（式略）解新的规划模型，可以得到原材料的影子价格为6粤，远远高于甲地百吨原材料的净产值。这就说明，整个社会增加一单位原材料对加工部门净产值的贡献要比对原材料生产部犷1净产值的贡献大。这样必然会刺激原材料的消耗，压抑原材料的生产，造成原材料短缺。如果提高原材料的价格，使乙地加工成品的净产值降为每百件:喜万元，这时原材料的影于价格为3万元，与甲地百吨原「材料的净产值相等。这样就有利于促进原材料生产和消费的平衡。因此，我国现行不合理的价格体系哑待改革，原材料、能源、矿产品等资源的价格巫待提高。对于资源定价间题，由于影子价格既能反映资源的效能，又能反映资源的稀缺程度，因此要达到合理地利用有限资源，更好地反映社会经济效益，利用影子价格作为我国资源定价的主要依据是可行的。而且从整个国民经济来看，资源的影子价格体系确实客观存在，找到这样的价格体系应该是价格改革的追求目标。还有人将影子价格推广到用各种方法计算出来的非自然形成价格以及由国际市场引进的价格都可以称为影子价格。我国实行对外开放政策以来，进出口贸易大幅度增长，以国际市场价格作为可外贸货物这一类资源的影子价格，也可以帮助我们制定合理的资源价格。线性规划应用于区域经济规划的另一个重要方面是合理分配有限的资源，即是使有限的资源发挥最大经济效益。假定某一地区有m个生产部门，利用‘n种有限资源生产，知道各部门单位产品的净产值和投入产出系数，得出一个线性规划问题。求解这个线性规划，不仅能知道现有条件一F各种资源的最优分配，而且可以确定各种资源的影子价格，为计划投资提供信息。影子价格可以反映规划中各种资源的相对稀缺性，影子价格越高，说明这种资源越短缺，增加其投入能带来更多的社会总产品。影子价格为零的资源为过剩资源，追加这种资源只会造成浪费。假设某一地区轻纺工业部门生产甲产品(单位为千米)的最大生产能力为]。0，冶金工业部门生产乙产品(单位为吨)的最大生产能力为40。，两种产品都要消耗资源A，其消耗系数分别为0.01和0.03，而资源A的可供量为10。又设在合理的价格体系下甲产品每千米的净产值为5(百元)，乙产品每吨的净产值为2(百元)。为了求资源A的最优分配方案和确定投资的轻重缓急，可以把上述问题化为求净产值最大的线性规划模型。设x，、xZ为甲、乙两种产品的产量，在约束为:（式略）用单纯形法求得最优解为:（式略）并得到甲产品、乙产品和资源A的影子价格分别为:（式略）以上结果给出了甲产品和乙产品的最优产量，给出了资源A分配的最优比例:10单位资源A供应轻纺工业部门1单位(100x0.01)，供应冶金工业部门9单位(300X0.03)。同样，根据影子价格，资源A的影子价格最大，说明增加资源A的投入可以较大地提高净产值，其次是产品甲，产品乙的影子价格为零，说明增加产品乙的产量，并不会提高净产值，而只会造成浪费。因此，本地区应优先考虑向生产资源A的工业部门投资，一其次向轻纺工业部门投资，暂停向冶金工业部门投资。进一步还可以通过比较资源的影子价格和市场价格来判断资源投入是否有利。在生产已达最优结构时，如果某一资源的影子价格高于其市场价格，继续投入这种资源就可以增加收益。假定上例中资源A的影子价格高于其市场价格，则应再购进资源A扩大生产规模。相反，如果影子价格低于其市场价格，将资源A投入生产就意味着亏损，这时应卖出一部分资源，其收益要比将资源A用来生产大。‘问题是在某地区某资源的影子价格低于其市场价格，而在另一地区完全有可能高于其市场价格。这样，通过物资的调配后，整个社会从宏观上讲就会有更好的效益。可见，应用线性规划和影子价格，可以使资源达到最合理的分配，纯收益达到最大。

三、在我们前面所分析的例子中，出现了这样的问题:在生产资源A的工业部门、轻纺工业部门以及冶金工业部门中，优先向生产资源A的工业部门投资，其次向轻纺工业部门投资，那么投资数额为多少最合理?又如果资源A的影子价格高于市场价格，则购进多少资源A扩大生产规模为最优?反之，如果资源A的影子价格低于市场价格，则应卖出多少资源A才能保证有最大收益?要解决这些问题，可用灵敏度分析加以精确计算。灵敏度分析就是当线性规划模型的参数变动时，分析其对最优解结果的敏感程度和范围。因为在实际工作中经常存在着许多不确定性因素，模型中某些参数会随着情况变动而产生波动，因此就必须对这些参数变化所引起的结果有比较精确的估计。灵敏度分析包括三个方面:一是涉及到约束条件方程中hi值变化的分析;二是涉及到目标函数中系数C;值变化的分析;三是涉及到约束条件中技术性系数aij变化的分析。在我们前面有关影子价格问题的讨论中，所涉及到的都是约束条件方程中bi值变化的问题。以资源A的影子价格与市场价格的比较为例。假设资源A的影子价格高于其市场价格，我们要确定资源A的最优购进数量。首先，利用灵敏度分析计算出在资源A的影子价格(也即对偶问题的最优解)不变的情况下，资源A约束右端项的变动界限。即资源A的约束在这一界限内，其影子价格不变。然后，让资源A的约束右端项突破这一界限的上限，在新的约束下，求资源A的影子价格。如果这一影子价格低于市场价格，则原约束右端项的变动上限与现有资源A的数量之差，就是应购进的资源A数量。如果资源A的影子价格仍然高于市场价格，则重复以上步骤。直至求出资源A的最优购进数量为止。