高三复习解析几何中的定点定值问题

摘 要：在任教中会有很多圆锥曲线通过定点和定值的问题，此类问题从始至终都是教学中的难点，学生常常找不到解题点，不清楚答题思路。

关键词：解析几何；定点；定值

定点定值问题的本质是等式是恒等式，方程是待定系数法定点问题，主要是找出题中的已知和未知量间的关系或方程、不等式，而后把已知和未知量都代到此关系中，经过调整、变形变换成过定点的直线系、曲线系的问题来解题。定值问题主要在于选择一个符合此题设的参数，由题中已知量与参数表达出此题所有的含义、方程式、几何特点，然后应用韦达定理等方式求解出想要的表达式，且把它代入定值关系式中，化简、整理、得出结果。

一、教材给出的关于定点定值问题的实例分析与解答

1.关于高三复习解析几何中的定点定值问题的实例分析

解析几何中的定点、定值问题由始至终都是高三考试与比赛中的一个热门问题，因为现今课本对这个问题未进行专门的阐述。所以，就变成高三数学的一个难点。实际上，对此类问题的解答是有规则可依的，例如：证明动直线过定点的答题思路可总结为：一取、二解、三定点。详细步骤如下：

一取：选取参数：需求证过定点的动直线总是随某个数的改变而改变，可选取这个数当做参数（当动直线涉及的数比较多时，也可选择多个参数）。

二解：解出动直线的方程式。找出仅含有上面提及的参数的动直线代数方程，并根据其他给出条件降低参变量的数目，最后让动直线方程式的系数中只有一个参数。

三定点：找出定点的坐标。可设动直线方程中的参数为λ，直线方程形式是这样写的：f（x，y）+λg（x，y）=0，然后解有关x，y的方程组f（x，y）=0，g（x，y）=0找到定点的坐标。

2.解析几何中的定点定值问题的实例具体解答过程

例1.已知椭圆： + =1，过点A（2，0）作弦PAQA，P、Q都在椭圆上，那么直线PQ是否恒通过一定点？若通定点，写出此定点坐标；若不通过，请说明理由。

解：作坐标平移：x=x′+2，y=y′，即点A恰是新坐标系的原点O′，那么在x′O′y′新坐标系中，椭圆方程是：3x′2+4y′2+12x′=0。设直线PQ的方程：mx′+ny′=1，P（x′1，y′1），Q（x′2，y′2），由3x′2+4y′2+12x′=0mx′+ny′=1可得3x′2+4y′2+12x′（mx′+ny′）=0

即（3+12m）x′2+12nx′y′+4y′2=0，即4（ ）+2n（ ）+3+12m=0

PAQA

kAP・kNQ=（ ）・（ ）= =-1

m=-

直线PQ的方程为- x′+ny′=1

直线PQ在新坐标系x′O′y′中，通过定点T（- ，0），所以在原坐标系中，直线PQ经过定点T（- ，0）。

说明：（1）因为动直线PQ有两个参数，条件“PAQA”的主要作用是降低动直线中的参数，所以此题求解的基本想法是怎样把题设条件变换成动直线中的限制条件。

（2）当定点A恰好是坐标原点时，此问题就变得容易且计算简便，但此题给出定点A不是原点，所以可借用坐标平移，使定点A是原点。

（3）上面解题过程中，经过建立有关 的方程式，将条件与结果直接呼应，能让计算过程简化。

例2.已知：射线y= x（x≥0）与椭圆 + 交于点A，两条直线都过A点，且倾斜角互补，和椭圆交于不同于A点的点B与点C；求解：直线BC的斜率是定值；

解：由已知得A点坐标是（1， ），设直线AB斜率是k，则直线AC的斜率为-k，直线AB的方程是：y- =k（x-1），即y=k（x-1）+ ，代入椭圆方程，得：2[（x-1）+1]2+[k（x-1）+2]2=4，

即（x-1）[（2+k2）（x-1）+4+2 k]=0，

xB=1- ，yB= -

即B（1- ， - ）。将B点坐标中的k换成-k即可得点C的坐标（1- ， - ）

yB-yC= - =

xB-xC= - =

故kBC= = = （定值）.

说明：由此题的答题过程很容易看出，定值问题的解题过程与解答动直线过定点的过程很多时候都相似，它的答题思路也可总结为：一取、二解、三定值。详细步骤如下：

一取：选取参数。应证明是定值的量通常都会是个变量，它会随某一个量的改变而改变，可选取这个量作参数（一些时候也会选两个参数，而后根据其他辅助条件消掉其中一个）。

二解：求出函数的解析方程。即将要证明是定值的量写成有关上述参数的函数。

三定值：把函数解析式简化，就得知定值。由题设结论可了解，要求证定值的量一定和参数的值无关，所以，求出的函数一定是常函数，因此，仅须对上面函数的解析式实行化简，就会得出定值。

二、对教学反思

1.“成”有所得

已知圆O：x2+y2=1与X轴交于P、Q两点，M是圆0上异于P、Q的任意点，直线l过A（3，0）点并和x轴垂直。若直线MP交直线l于点P′，直线QM交直线l于点Q′，求证：以P′Q′为直径的圆C经过定点，并求出定点坐标。

找两名学生上黑板板演此题，其他学生独算。板演的学生甲只设了一个变量，在得到含参数的圆方程后快速解答出了定点坐标。过程如下：

设P′（3，m），因为P（-1，0），所以PP′直线方程为：y= （x+1），因为Q（1，0），直线QQ′与直线PP′垂直，所以QQ′直线方程为：

y=- （x-1），令x=3，得Q′（3，- ），

因此把P′Q′作为直径的圆C的方程是：

（x-3）2+（y-m）（y+ m）=0

化简得（x-3）2+y2+ -my-8=0

所以x2+y2-8=08y=0y=0解得x=3±2 y=0

所以圆c经过定点，定点坐标为（3±2 ，0）.

当学生独立思考的解法获得同学与老师的认可时，心里无疑是开心的。在高三学习压力大且枯燥乏味的学习生活中，大部分学生被数学考试打击得已没有任何信心了。若是能给学生一点时间与空间，让他们发挥特长，对提升其自信心是十分有利的。

2.“败”亦有得

板演学生乙做法同教案的解法相似，但由于在写以P′Q′为直径的圆C的方程时选择了先求圆心与半径的方法造成计算繁琐，方程错误，没有解答出来。但是过程中也有值得肯定的地方。经过其他同学的补充，经过同学间的交流，该学生知道了更好的解法，了解到自身的问题，这对高三学生来说是最关键也是最有效的提升方法。

三、解析几何的定点和定值问题的总结

定点问题是定值问题中的一种，所谓定值问题，就是当一些几何元素按一种规则在设定范围内改变时，和它相关的某些量一直持续不变。定值问题通常有两类：定量和定形。当一直保持不变的量是点的坐标时，定值与定点是同一问题。定点问题，实质上就是恒成立问题。若要学会解答定点问题就要先学会怎样处理恒成立问题，解决恒成立问题，先要找出动因，而后要找出恒成立的式子，最后借助恒成立的条件，解得体现动因的变量系数间的关系式。

参考文献：

宁连华.数学探究学习论[M].北京：高等教育出版社，2008.

（作者单位 江苏省苏州蓝缨学校）