浅析高三数学复习中的应用问题

（嵊州中学 浙江 嵊州 312400）

应用题是考查数学应用意识的主要形式，数学应用意识，即应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决相关学科、生产、生活中简单的数学问题。应用的主要过程是依据现实的生活背景，提炼相关的数量关系，将现实问题转化为数学问题，构造数学模型，并加以解决，能用数学语言准确地表达和说明。

数学应用题的解题关键是提高阅读能力即数学审题能力，能从背景中概括出数学本质，抽象出其中的数量关系，转化为函数、方程、不等式、等式等。求解应用题的一般步骤是：

（1）读题：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，理顺数量关系；

（2）建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；

（3）求解：运用相关数学模型的知识，选择合适的数学方法求解；

（4）评价：对结果进行验证或评估，最后利用结果对现实作出解释。

数学高考应用试题体现数学联系实际，加强应用意识，考查考生对现实问题的数学理解的主要题型。应用题将基础知识、方法、能力和数学素养的考查融为一体，凸显能力考查和选拔功能。在近几年高考中，经常涉及的数学应用题，有以下一些类型：函数、不等式应用题，数列应用题、函数应用题、三角应用题、概率统计应用题等等。常涉及到的研究是：优化问题；预测问题；最（极）值问题；测量问题等。

题型1：函数不等式应用题 函数反映了现实世界的变量之间的关系，因此与生产生活实际有紧密的联系，函数不等式应用题的涵盖面非常广泛，可以与生产工程，生活实际和各学科领域相结合。解决函数应用题，首要的是理解题意，建立函数关系，再利用函数性质、导数或不等式为工具求解。

例1. 某 企 业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为80π3 立方米，且l≥2r 。假设该容器的建造费用仅与其表面积有关。已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c（c>3）。设该容器的建造费用为y千元。

（Ⅰ） 写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；

（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的r。

解：（Ⅰ） 设容器的容积为V，由题意知V=πr2l+43πr3，又V=80π3

故l=V-43πr3πr2=803r2-43r=43（20r2-r）

由于l≥2r，因此0

所以建造费用y=2πrlx3+4πr2c=2πrx43（20r2-r）x3+4πr2c

因此y=4π（c-2）r2+160πr，0

（Ⅱ）由（Ⅰ）得y'=8π（c-2）r-160πr2=8π（c-2）r2（r3-20c-2），0

由于c>3，所以c-2>0

当r3-20c-2=0时，r=320c-2

令320c-2=m，则m>0

所以y'=8π（c-2）r2（r-m）（r2+rm+m2）

（1）当0

当r=m时，y'=0

当r∈（0，m）时，y'

当r∈（m，2）时，y'>0

所以当r=m是函数y的极小值点，也是最小值点。

（2）当m≥2即3

当r∈（0，2）时，y'

所以r=2是函数y的最小值点。

综上所述，当3

当c>92时，建造费用最小时r=320c-2

点评：函数不等式应用题解题关键是理解题意，分析各已知条件之间的关系，把实际问题中所涉及的几个变量转化成函数关系式，构建相应的函数关系，再用导数或不等式方法加以研究。

题型2：数列应用题 对于一些整数变量的函数应用题，实质上可归结为数列问题。需要正确设定数列，分析所得数列的性质，结合数列的方法解决问题。

例2. 某车队2010年初以98万元购进一辆大客车，并投入营运，第一年需支出各种费用12万元，从第二年起每年支出费用均比上一年增加4万元，该车投入营运后每年的票款收入为50万元，设营运n年该车的盈利额为y万元。

（1）写出y关于n的函数关系式；

（2）从哪一年开始，该汽车开始获利；

（3）若盈利额达最大值时，以20万元的价格处理掉该车，此时共共获利多少万元？

分析：本题问题是建立盈利额y与营运年份n的关系，由于n为整数，实际上是一个数列问题，建立函数表达式，利用函数性质求解，但要注意n为整数，并且把年份与n对应。

解：（1）y=50n-98-[12n+n（n-1）24]=-2n2+40n-98（n∈N﹡）

（2）令y>0 ，即n2-20n+49

（3）y=-2（n-10）2+102 ，即n=10时，ymax=102，此时共获利102+20=122万元。

点评：数列应用题适宜于解决整数变量的数学问题，关键是设定数列，分析数列的性质，再用数列的方法解决问题。

题型3：解析几何应用题 解析几何研究了曲线的方程，直线与圆锥曲线在生产生活实际中经常作为数学模型出现。解决此类问题，首先要建立直角坐标系，再根据题意，确定曲线类型，建立方程解决实际问题。

例3. 如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22m，要求通行车辆限高4.5m，隧道全长2.5km，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状。若最大拱高h为6m，则隧道设计的拱宽l是多少？（精确到0.1m）

图1 解：如图1建立直角坐标第，设椭圆方程为x2 a2+y2 b2=1。 将b=h=6与点P（11，4.5）代入椭圆方程，得：

112 a2+4.52 62=1，解得a=447 7 ，此时l=2a=887 7≈33.3。因此隧道的拱宽约为33.3m。点评：建立适当的坐标系，通过解析法和待定系数法求出椭圆模型，然后应用数学模型解决实际问题。解决圆锥曲线的应用问题时，要善于抓住问题的实质，通过建立解析几何模型，完成应用背景下数学问题的转化。

抓住各数量之间的关系，紧扣圆锥曲线的概念，充分利用几何性质，灵活运用数学方法，正确完成建模与应用的过程。

题型4：立体几何应用题 立体几何是研究空间位置关系的数学学科，而空间图形在生产生活中十分常见，随之而产生的实际问题可以借助于立体几何的方法加以研究。例4.请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为lm的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如下图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时，帐篷的体积最大？

分析：帐篷的体积是|OO1|的函数，可以通过立体几何的体积公式建立函数关系。解：设OO1 为xm ，则由题设可得正六棱锥底面边长为 32-（x-1）2=8+2x-x2（单位：m ）

于是底面正六边形的面积为（单位：m2 ）S=634（8+2x-x2）2=332（ 8+2x-x2）

帐篷的体积为（单位：m3 ）V（x）=332（ 8+2x-x2） [13（x-1）+1]=32（16+12x-x3），

求导数，得V'（x）= 32（12-3x2），令V'（x）=0 解得x=-2 （不合题意，舍去），x=2

当1

答：当OO1为2m时，帐篷的体积最大。

题型5：概率应用题 随机现象在社会生活中大量存在，而概率统计是研究随机现象的学科，因此解决生活实际中的随机现象问题，可以归结为概率应用题。

要点聚焦 （1）解答应用题的关键在于审题上，必须过好三关：

①通过阅读、理解，明白问题讲的是什么，熟悉实际背景，为解题打开突破口。

②将实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表示数学关系。

③在构建数学模型的过程中，对已知数学知识进行检索，从而认定或构建相应的数学模型，完成由实际问题向数学问题的转化。

（2）数学应用题可见于高中数学的各块内容，最常见的是： 函数不等式应用题、数列应用题、解析几何应用题、立体几何应用题、概率统计应用题。

（3）数学应用题最常见的研究问题是最优化问题，设计问题等，其核心思想是建立函数模型，根据不同的函数模型选择相应的数学知识解决问题。