导数问题零距离

摘 要：导数是初等数学与高等数学的重要衔接点，是对函数图象和性质的总结和拓展，是研究函数的单调性、极值、最值、讨论函数图象变化趋势的重要工具。利用导数可以解决现实生活中的最优化问题，由于其应用广泛性，已成为高考命题的重点和热点。

关键词：导数，数学

一、利用导数的几何意义解决曲线的切线问题

例1 曲线y=x3-x+3在点（1，3）处的切线方程为_______。

分析：首先利用导数的几何意义求出切线的斜率，然后利用点斜式写出切线的方程。

解：因为k=y′|x=1=（3x2-1）|x=1=2，所以切线方程为y-3=2（x-1），即2x-y+1=0。

点评：利用导数的几何意义求解曲线的切线问题，关键是正确求出已知函数的导函数。

二、利用导数解决函数的图象问题

分析：利用f′（x）>0时f（x）单调递增，f′（x）

所以当x∈（0，+∞）时，f（x）单调递增且f（x）

点评：利用导数来判断函数的图象问题，关键是明确导数与函数单调性的关系，通过导数的正负与函数图象的走向来判断。

三、利用导数解决函数的单调性问题

A.（1，1] B.（0，1]

C.[1，+∞） D.（0，+∞）

分析：对于对数函数，首先应确定函数的定义域，再求导数f′（x），通过判断函数定义域内导数为零的点所划分的区间内f′（x）的符号，来确定函数f（x）在该区间上的单调性。

点评：利用导数判断函数在给定区间上的单调性，就是判断导数在给定区间上的符号问题。若导数的值为正，原函数在此区间上是增函数；导数的值为负则是减函数。

四、利用定积分求曲边梯形的面积

分析：首先利用定积分的几何意义求出曲边梯形的面积，然后利用微积分基本定理求解得出a的值。

点评：本题考查了由定积分求解曲线围成封闭图形的面积以及利用微积分基本定理进行计算的能力，考查了学生数形结合解决问题的能力

五、利用导数解决函数的极值与最值问题

例5 设函数f（x）=xex，则（）

A.x=1为f（x）的极大值点

B.x=1为f（x）的极小值点

C.x=-1为f（x）的极大值点

D.x=-1为f（x）的极小值点[学

分析：首先令f′（x）=0得出f（x）的极值点，然后利用极值点两侧导数的符号来判断函数的极值。

解：令f′（x）=ex+xex=0，则x=-1，

当x

f（x）单调递增。

所以x=-1为f（x）极小值点，故选D。

点评：本题考查了利用导数求函数的极值，考查了学生运算、分析和解决问题的能力。函数极值的求解，根据导函数为零解方程并列表格，分析每个实根两侧导函数的符号和原函数的单调性，可以明确判断函数的极值点，这是通性通法，应熟练掌握。

（作者单位：河南省郑州幼儿师范高等专科学校）