查漏补缺之函数与导数

函数在高考中占有重要的地位，以基本函数为背景的综合题和应用题是近几年高考命题的新趋势. 导数作为研究函数的工具，在高考的地位也不可小视. 因此，本文对函数与导数的知识作一梳理，希望对同学们有所帮助.

（2）分段函数是指自变量在不同的范围内，其对应法则也不同的函数． 常常考查求函数值、求函数解析式、求反函数、求函数最值.

2. 函数的图象和性质

（1）理解函数单调性的定义，掌握判断函数单调性的方法.

（2）了解函数的奇偶性，掌握奇、偶函数的性质.

（3）了解函数的周期性.

（4）掌握常见函数图象的基本作法，掌握函数图象的平移、对称、翻折和伸缩变换.

注意：（1）判断函数的单调性，常常有图象法、定义法、复合函数法、导数法，但如果是在解答题中证明或判断函数单调性时，则只能用定义法和导数法.

（2）判断函数的奇偶性，首先要看定义域关于原点是否对称.

（3）若函数f（x）是奇函数并且在x=0处有定义，则f（0）=0，这条性质切记.

（4）识记以下重要结论：①奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；②若函数在其定义域上存在反函数，则原函数和反函数在各自的定义域内具有相同的单调性；③函数f（x）的图象关于直线x=a对称?圳f（a+x）=f（a－x）?圳f（2a－x）= f（x）；④函数f（x）的图象关于点（a，b）对称?圳f（a+x）+f（a－x）=2b?圳f（2a－x）+f（x）=2b.

3. 几种常见的函数

（1）掌握二次函数、三次函数的图象和性质.

（2）掌握幂的运算，理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点.

（3）掌握对数的概念及其运算性质， 理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握函数图象通过的特殊点.

（4）结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程的根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数. 能够用二分法求相应方程的近似解（仅限新课程地区）.?摇

（5）能够熟练处理常见抽象函数的定义域、解析式、函数值和单调性等.

注意：（1）处理函数的有关问题，一定要形成“定义域优先”的原则.

（2）指数函数和对数函数是典型的超越函数，且互为反函数. 在实际试题中，往往是与指数函数或对数函数有关的复合函数，要注意复合函数的单调性判断规律，即“同增异减”.

（3）一元二次方程的根的分布是考查的重点，要能利用二次函数图象来寻求充要条件，常常是抓端点值、对称轴和判别式.

（4）抽象函数的常见处理方法有特殊模型法、函数性质法、特殊化方法、联想类比转化法等. 记住以下常见抽象函数模型所对应的具体函数，这对我们解题有帮助.

4. 导数的运算

（1）理解导数的几何意义.

（2）求复合函数的导数请注意：要能正确拆分复合函数，即要明确该复合函数由哪些基本函数复合而成，适当选取中间变量；分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导；求导时，应由外及里，逐层求导．

（3）导数的运算、函数与导数的应用交汇，以考查导数的应用（单调性、极值、最值、方程根的情况）为主，同时考查导数的计算．

5. 导数的应用

（1）了解函数单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）．

（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）．

（3）会利用导数解决某些实际问题．

（3）导数经常与函数的单调性、不等式、方程根的分布、解析几何中的切线问题结合．