八\解析几何工坊

一星题

1． 已知ab

（Ａ） 第一、二、三象限（Ｂ） 第一、二、四象限

（Ｃ） 第一、三、四象限（Ｄ） 第二、三、四象限

２． 圆x2+y2-2x-2y+1=0上的点到直线x-y=2的距离的最大值为

（Ａ） 2 （Ｂ） 1+ （Ｃ） 1+ （Ｄ） 1+2

3．设双曲线-＝1（ａ＞0，ｂ＞0）的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为

（Ａ） ｙ＝±ｘ （Ｂ） ｙ＝±2ｘ （Ｃ） ｙ＝±ｘ （Ｄ） ｙ＝±ｘ

４．已知F1，F2为椭圆+＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点． 若F2A+F2B=12，则AB＝．

５． 设抛物线y2=2px（ｐ＞0）的焦点为F，点A的坐标为（0，2）． 若线段FA的中点B在抛物线上，则点B到该抛物线的准线的距离为．

二星题

６． 若直线ｌ１：ｙ＝ｋ（ｘ－４）与直线ｌ2关于点（２，１）对称，则直线ｌ2恒过定点

（Ａ） （0，4） （Ｂ） （0，2） （Ｃ） （-2，4） （Ｄ） （4，-2）

７． 设F1和F2为双曲线-＝1（ａ＞0，ｂ＞0）的两个焦点，若F1，F2，P（0，2ｂ）是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为

（Ａ） （Ｂ） 2 （Ｃ） （Ｄ） 3

８． 已知抛物线y2=4x上的点P到抛物线的准线的距离为d1，到直线3x-4y+9=0的距离为d2，则d1+d2的最小值为

（Ａ） （Ｂ） （Ｃ）２ （Ｄ）

９． 过点A（4，1）的圆C与直线ｘ－ｙ-1＝0相切于点B（2，1），则圆C的方程为．

１０． 如图１所示，已知F1，F2是椭圆C：+＝1（ａ＞ｂ＞0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF2与圆x2+y2=b2相切于点Q，且点Q为线段PF2的中点，则椭圆C的离心率为．

三星题

１１． 过抛物线x2=2py（ｐ＞0）的焦点F作倾斜角为３０°的直线，使直线与抛物线交于A，B两点（点Ａ在ｙ轴左侧），则＝．

１２． 已知双曲线C：-y2＝1，设过点A（-3，0）的直线ｌ的方向向量ｅ＝（1，ｋ）．

（１） 当直线ｌ与双曲线C的一条渐近线ｍ平行时，求直线ｌ的方程及ｌ与ｍ的距离；

（２） 证明：当k>时，在双曲线Ｃ的右支上不存在点Ｑ，使点Ｑ到直线ｌ的距离为．

１３． 如图２所示，A（-1，0），B（1，0），M是曲线C1：ｙ＝ｘ2-1（ｘ≥1）上的一点，直线ｌ过点M且与曲线C1相切． N是曲线C2：ｙ＝-（ｘ＜1）上的一点，直线ｌ经过点N且与曲线C2相切． 记点M的横坐标为t（ｔ＞1）．

（１） 用t表示m的值和点N的坐标；

（２） 当实数m取何值时，∠MAB=∠NAB？并求出此时直线l的方程．

【参考答案】

１． Ｃ２． Ｂ３． Ｃ４． ８５．

６． Ｂ （提示：直线l1：y=k（ｘ-4）恒过定点（4，0））

７． Ｂ （提示：设双曲线的半焦距为c． 由F1F2=F1P可得4c2=c2+4b2，又c2=a2+b2，解得e==2 ）

８． Ａ （提示：抛物线y2=4x的准线方程为x=-1． 设P，t，则d1=+1，d2=． 设f（ｔ）＝t2-4t+9，由判别式小于零可得 f（ｔ）>0， d1+d2=． 当t=1时，d1+d2有最小值）

９． （ｘ-3）2+ｙ2＝2 （提示：设圆C的方程为（ｘ-ａ）2+（ｙ-ｂ）2＝ｒ2，圆心为C（a，b）. 代入A（4，1），B（2，1），解得ａ＝3． 由直线x-y-1=0的斜率为1且BC与直线x-y-1=0垂直，可得kBC==-1． 解得b=0. r=ＢＣ＝）

１０．（提示：如图３所示，连接OQ，OP，PF1． 设椭圆的半焦距为c，则F1（-ｃ，0），F2（ｃ，0），F1F2＝2ｃ．由OQPF2，OQ=b，又PQ=QF2， 可得OPF2是以PF2为底边的等腰三角形， OP=OF2=c． O为F1F2中点且OP=c=， F1PF2为直角三角形，∠F1PF2=90°． OQ为F1PF2的中位线， PF1=2OQ=2b． 又PF1+PF2=2a， PF2=2a-PF1=2a-2b．代入P+P=F1，解得a=b． c=b， e=）

１１．（提示：由题意可知，抛物线x2=2py（①）的焦点为F0，，准线方程为y=-，直线AB的方程为y=x+（②）． 设A（ｘ1，ｙ1），B（ｘ2，ｙ2）． 如图４所示，自点A，B分别向准线作垂线，交准线y=-于点C，D． 由抛物线定义可知：AF=AC=y1+=x1+p，BF=BD=y2+=x2+p． 联立①②解得x1=-p，x2=p． =＝）

１２． 解：（１） 由题意可知，双曲线C的渐近线表达式为m：x±y=0． 直线l过点A（-3，0）且与ｍ平行， 直线l的方程为x±y+3=0．

如图５所示，当直线l的方程为x+y+3=0时，直线ｌ与ｍ的距离d==；当直线ｌ的方程为x-y+3=0时，直线ｌ与ｍ的距离d==． 直线ｌ与ｍ的距离为．

（２） 证法一： 直线ｌ的方向向量e=（1，ｋ）， 直线l的方程为kx-y+3k=0. 设过原点且平行于ｌ的直线ｂ的方程为ｋｘ-ｙ＝0，则直线ｌ与ｂ的距离d==． 当k>时，d>．

又双曲线C的渐近线为x±y=0 ， k>时，双曲线C的右支在直线b的右下方． 在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为．

证法二： 设双曲线C的右支上存在点Q（ｘ0，ｙ0）到直线ｌ的距离为． 直线ｌ的方向向量e=（1，ｋ）且过点A（-3，0）， 直线ｌ的方程为kx-y+3k=0， 有= （①），-=1 （②）.由①得y0=kx0+3ｋ±•，设t1=3ｋ+•，t2=3ｋ-•． 当k>时，t1>0，t2=（-）＝•＞０．

将ｙ0＝ｋｘ0+ｔ1代入②式，整理得（1-2ｋ2）-4ｋｔ1ｘ0-2（+1）＝0；将ｙ0＝ｋｘ0+ｔ2代入②式，整理得（1-2ｋ2）-4ｋｔ2ｘ0-2（+1）＝0. ｋ＞，ｔ1＞0，ｔ2＞0， 1-2k2

１３． 解：（１） 由题意可知M（ｔ，ｔ2-1），切线ｌ的斜率ｋｌ＝2t， 切线l的方程为ｙ＝2ｔｘ-ｔ2-1. 与ｙ＝-联立方程组，整理得（ｍ+4ｔ2）ｘ2-4ｔ（ｔ2+1）ｘ+（ｔ2+1）2-ｍ＝0 （①）． 直线l与曲线y=-（ｘ＜1）相切于点N， Δ=16t2（ｔ2+1）2-4（ｍ+4ｔ2）［（ｔ2+1）2-ｍ］＝-4ｍ［（ｔ2-1）2-ｍ］＝0，解得ｍ＝0或ｍ＝（ｔ2-1）2．

把m=0代入①式，求得x=. t>1， x=+>2=1，与ｘ＜1矛盾. 把ｍ＝（ｔ2-1）2代入①式，求得x=. t>1， x=

-．

综上可得，ｍ＝（ｔ2-1）2，点N的坐标为，-．

（２） A（-1，0），M（ｔ，ｔ2-1），又由（１）知N，-， ｋAM＝＝ｔ-1，ｋAN＝＝-（ｔ-1）2， ∠MAB＝∠NAB， ｋAM＝-ｋAN，即t-1=（ｔ-1）2． t>1， t=2． 由（１）可知m=（ｔ2-1）2， ｍ＝9． 把t=2代入点M和点N的坐标，求得M（2，3），N，-， MN所在直线l的方程为ｙ＝4ｘ-5．

■ 题目选自《中学生天地》（高中学习）编辑部与平湖市当湖高级中学王健老师合作开发的“教学伴侣――word数学习题库”