解析几何·直线与圆锥曲线

一、选择题（每小题4分，共40分，每小题只有一个选项符合题意）

1. 已知双曲线[kx2-y2=1]的一条渐近线与直线[l：2x+y+1=0]垂直，则此双曲线的离心率是（ ）

A. [52] B. [32] C. [43] D. [5]

2. 直线[y=x+1]被椭圆[x2+2y2=4]所截得的弦的中点坐标是（ ）

A. [13，-23] B. [-23，13]

C. [12，-13] D. [-13，12]

3. 椭圆[x24+y23=1]的离心率为[e]，点[（1，e）]是圆[x2+y2-4x-4y+4=0]的一条弦的中点，则此弦所在直线的方程是（ ）

A. [3x+2y-4=0] B. [4x+6y-7=0]

C. [3x-2y-2=0] D. [4x-6y-1=0]

4. 设直线[l： mx+（m-1）y-1=0]（[m]为常数），圆[C： （x-1）2+y2=4]，则下列命题中正确的是（ ）

A. 当[m]变化时，直线[l]恒过定点（-1，1）

B. 直线[l]与圆[C]有可能无公共点

C. 若圆[C]上存在关于直线[l]对称的两点，则必有[m=0]

D. 若直线[l]与圆C有两个不同交点[M，N]，则线段[MN]的长的最小值为[23]

5. 已知双曲线[x2a2-y2b2=1][（a>0，b>0）]与抛物线[y2=8x]有一个公共的焦点[F]，且两曲线的一个交点为[P]，若[|PF|=5]，则双曲线的离心率为（ ）

A. [2] B. [22] C. [5+12] D. [6]

6. 抛物线[y2=2px（p>0）]的焦点为[F]，其准线经过双曲线[x2a2-y2b2=1][（a>0，b>0）]的左顶点，点[M]为这两条曲线的一个交点，且[|MF|=2p]，则双曲线的离心率为（ ）

A. [102] B. 2 C. [5] D. [52]

7. 已知双曲线[x2a2-y2b2=1][（a>0，b>0）]的左、右焦点分别是[F1，F2]，设[P]是双曲线右支上一点，[F1F2]在[F1P]上的投影的大小恰好为[|F1P|]且它们的夹角为[π6]，则双曲线的离心率为（ ）

A. [2+12] B. [3+12]

C. [3+1] D. [2+1]

8. 已知椭圆[C：x2a2-y2b2=1][（a>b>0）]的离心率为[32]，过右焦点[F]且斜率为[k（k>0）]的直线与[C]相交于[A，B]两点. 若[AF][=3FB]，则[k=]（ ）

A. [1] B. [2] C. [3] D. [2]

9. 直线[3x-4y+4=0]与抛物线[x2=4y]和圆[x2+（y-1）2=1]从左到右的交点依次为[A，B，C，D]，则[|AB||CD|]的值为（ ）

A. 16 B. [116] C. 4 D. [14]

10. 过抛物线[y=ax2a>0]的焦点[F]作一直线交抛物线于[P，Q]两点，则[1PF+1FQ]=（ ）

A. [2a] B. [12a] C. [4a] D. [4a]

二、填空题（每小题4分，共16分）

11. 设抛物线[x2=4y]的焦点为[F]，经过点[P（1，4）]的直线[l]与抛物线相交于[A，B]两点，且点[P]恰为[AB]的中点，则|[AF]|+|[BF]|= .

12. 倾斜角为[π4]的直线交椭圆[x24+y2=1]于[A，B]两点，则线段[AB]中点的轨迹方程是 .

13. 已知过点[P（-3，0）]的直线[l]与双曲线[x216-x29=1]交于[A，B]两点，设直线[l]的斜率为[k1（k1≠0）]，弦[AB]的中点为[M，OM]的斜率为[k2（O]为坐标原点），则[k1?k2=] .

14. 曲线[C]是平面内与两个定点[F1（-1，0）]和[F2（1，0）]的距离的积等于常数[a2（a>1）]的点的轨迹. 给出下列三个结论：①曲线[C]过坐标原点；②曲线[C]关于坐标原点对称；③若点[P]在曲线[C]上，则[F1PF2]的面积不大于[12a2]. 其中，所有正确结论的序号是 .

三、解答题（共4小题，44分）

15. （10分）已知点[P（x0，y0）]是椭圆[E； x22+y2][=1]上任意一点，直线[l]的方程为[x0x2+y0y=1].

（1）判断直线[l]与椭圆[E]交点的个数；

（2）直线[l0]过[P]点与直线[l]垂直，点[M（-1，0）]关于直线[l0]的对称点为[N]，直线[PN]恒过一定点[G]，求点[G]的坐标.

16. （10分）已知圆[M：（x-1）2+（y-12）2=r2（r>0）]与抛物线[C：y=（x+1）2]有一个公共点[A]， 且在[A]处两曲线的切线为同一直线[l].

（1）求[r]；

（2）设[m，n]是异于[l]且与[C]及[M]都相切的两条直线，[m，n]的交点为[D]，求[D]到[l]的距离.

17. （12分）设点[P]为圆[C1： x2+y2=2]上的动点，过点[P]作[x]轴的垂线，垂足为[Q]. 动点[M]满足[2MQ=PQ]（其中[P]，[Q]不重合）.

（1）求点[M]的轨迹[C2]的方程；

（2）过直线[x=-2]上的动点[T]作圆[C1]的两条切线，设切点分别为[A，B]. 若直线[AB]与（1）中的曲线[C2]交于[C，D]两点，求[|AB||CD|]的取值范围.

18. （12分）如图，[ΔPAB]的顶点[A，B]为定点，[P]为动点，其内切圆[O1]与[AB，PA，PB]分别相切于点[C]，[E]，[F]，且[AB=23，||AC|-|BC||=2].

（1）建立适当的平面直角坐标系，求动点[P]的轨迹[W]的方程；

（2）设[l]是既不与[AB]平行也不与[AB]垂直的直线，线段[AB]的中点[O]到直线[l]的距离为[2]，若[l]与曲线[W]相交于不同的两点[G，H]，点[M]满足[2OM=OG+OH]，证明： [2OM=GH].