解析几何·椭圆

一、选择题（每小题4分，共40分，每小题只有一个选项符合题意）

1. 若椭圆[x22+y2m=1]的离心率为[12]，则[m=]（ ）

A. [3] B. [32]

C. [83] D. [83]或[32]

2. 已知点[M（3，0）]，椭圆[x24+y2=1]与直线[y=k（x+3）]交于点[A，B]，则[ABM]的周长为（ ）

A. 4 B. 8

C. 12 D. 16

3. 已知[F]是椭圆[x225+y29=1]的一个焦点，[AB]为过其中心的一条弦，则[ABF]的面积最大为（ ）

A. 6 B. 15

C. 20 D. 12

4. 如果[AB]是椭圆[x2a2+y2b2=1]的任意一条与[x]轴不垂直的弦，[O]为椭圆的中心，[e]为椭圆的离心率，[M]为[AB]的中点，则[kAB?kOM]的值为（ ）

A. [e-1] B. [1-e]

C. [e2-1] D. [1-e2]

5. 设椭圆的两个焦点分别为[F1]，[F2]，过[F2]作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为[P]，若[F1PF2]为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）

A. [2-1] B. [2-12]

C. [22] D. [22]

6. 设[θ]是三角形的一个内角，且[sinθ+cosθ=15]，则方程[x2sinθ-y2cosθ=1]表示的曲线是（ ）

A. 焦点在[x]轴上的双曲线

B. 焦点在[x]轴上的椭圆

C. 焦点在[y]轴上的双曲线

D. 焦点在[y]轴上的椭圆

7. 椭圆[x24+y22=1]上有一点[P]，[F1]，[F2]是椭圆的左、右焦点，[F1PF2]为直角三角形，则这样的点[P]有（ ）

A. 3个 B. 4个

C. 6个 D. 8个

8. 已知[F]是椭圆[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的右焦点，过点[F]作斜率为2的直线[l]使它与圆[x2+y2=b2]相切，则椭圆离心率是（ ）

A. [22] B. [32]

C. [53] D. [63]

9. 已知[M]是椭圆[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]上一点，两焦点为[F1]，[F2]，点[P]是[MF1F2]的内心，连接[MP]并延长交[F1F2]于[N]，则[|MP||PN|]的值为（ ）

A. [aa2-b2] B. [ba2-b2]

C. [a2-b2b] D. [a2-b2a]

10. 已知：点[P]为椭圆[x225+y29=1]上的任意一点，过椭圆的右顶点[A]和上顶点[B]分别作与[x]轴和[y]轴的平行线交于[C]，过点[P]引[BC，AC]的平行线交[AC]于[N]，交[BC]于[M]，交[AB]于[D，E]，矩形[PMCN]的面积是[S1]，三角形[PDE]的面积是[S2]，则[S1∶S2]=（ ）

A. 1 B. 2

C. [12] D. 与点[P]的坐标有关

二、填空题（每小题4分，共16分）

11. 椭圆[3x2+ky2=3]的一个焦点是（0，[2]），则[k=] .

12. 中心在原点，焦点在[x]轴上的椭圆上一点[M]到两焦点的距离分别为3和9，且经过点[M]作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，则该椭圆的标准方程为 .

13. 若椭圆[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]与曲线[x2+y2=a2-b2]无公共点，则椭圆的离心率[e]的取值范围是 .

14. 在[ABC]中，[AB=BC]，[cosB=-718]. 若以[A，B]为焦点的椭圆经过点[C]，则该椭圆的离心率[e=] .

三、解答题（共4小题，44分）

15. （10分）已知椭圆[E]的中心在坐标原点[O]，两个焦点分别为[F1（-1，0）]，[F2（1，0）]，一个顶点为[H（2，0）].

（1）求椭圆[E]的标准方程；

（2）对于[x]轴上的点[P（t，0）]，椭圆[E]上存在点[M]，使得[MPMH]，求[t]的取值范围.

16. （10分）椭圆[C]的中心在坐标原点，焦点在[x]轴上，该椭圆经过点[P（1，32）]且离心率为[12].

（1）求椭圆[C]的标准方程；

（2）若直线[l： y=kx+m]与椭圆[C]相交[A，B]两点（[A，B]不是左右顶点），且以[AB]为直径的圆过椭圆[C]的右顶点，求证：直线[l]过定点，并求出该定点的坐标.

17. （12分）已知点[M（4，0）]，[N（1，0）]，若动点[P]满足[MN?MP=6PN].

（1）求动点[P]的轨迹[C]的方程；

（2）设过点[N]的直线[l]交轨迹[C]于[A，B]两点，若[-187≤NA?NB≤-125]，求直线[l]的斜率的取值范围.

18. （12分）过椭圆[Γ]：[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]右焦点[F2]的直线交椭圆于[A，B]两点，[F1]为其左焦点，已知[AF1B]的周长为8，椭圆的离心率为[32].

（1）求椭圆[Γ]的方程；

（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆[Γ]恒有两个交点[P，Q]，且[OPOQ]？若存在，写出该圆的方程；若不存在，请说明理由.