解析几何解答题分类解析

专题策划：解析几何解答题的复习要点

编者按：解析几何解答题历来以计算复杂、综合难度大而著称，是学生在平时考试和高考试卷中失分的“重灾区”.其实，答好解析几何解答题是有规律可循、有方法可依的，关键在于你是否真正掌握了它们.

平面解析几何研究的是曲线问题，运用的是代数方法，渗透的是数形结合思想，是中学数学知识的一个重要交汇点，当然也是高考考查的重点和难点之一.分析和研究近年的高考解析几何解答题，我们可以发现如下特点：①重点突出，即对圆锥曲线的特征量（焦点、准线和离心率）的计算，曲线方程的求法，直线、圆与圆锥曲线的交点问题的考查几乎没有遗漏，既考查支撑学科知识体系的主干知识，又对数形结合、“设而不求”的解题思想保持较大的考查力度.②综合性不断增强，即以前的解析几何解答题大多是直线与圆锥曲线的综合题，在近年高考的一部分解答题中，圆与圆锥曲线、圆锥曲线与圆锥曲线的综合运用有加强的趋势.本文现通过对2014年高考解析几何解答题的分类解析，切实提高同学们解决这类问题的能力.

例1 （福建理科卷第19题）已知双曲线E： - =1（a>0，b>0）的两条渐近线分别为l1：y=2x，l2：y=-2x.

（Ⅰ）求双曲线E的离心率.

（Ⅱ）如图1，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点（A，B分别在第一、四象限），且OAB的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程;若不存在，说明理由.

解 （Ⅰ）由于双曲线E的渐近线分别为y=2x，y=-2x，所以 =2，即 =2，解得c= a.

故双曲线E的离心率e= = .

（Ⅱ）存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E，且双曲线E的方程为 - =1.（解答过程省略）

小结 ①圆锥曲线的特征量是指曲线中的a、b、c、p、e，理解这些量的几何意义，熟知它们之间的相互关系，是顺利解题的基础.②待定系数法是求曲线方程最基本、最常用的方法.在设直线方程时，学生要注意对斜率是否存在进行必要的讨论，防止漏解，若能确定斜率不为0，也可以设直线方程为x-x0=m（y-y0），其中m为斜率的倒数，从而避免对斜率不存在的情况的讨论;在设圆锥曲线的方程时，学生要注意曲线中心、对称轴、焦点位置对曲线方程的影响.

例2 （北京理科卷第19题）已知椭圆C：x2+2y2=4.

（Ⅰ）求椭圆C的离心率.

（Ⅱ）设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y=2上，且OAOB，试判断直线AB与圆x2+y2=2的位置关系，并证明你的结论.

解 （Ⅰ）由题意可知椭圆C的标准方程为 + =1.于是有a2=4，b2=2，则有c2=a2-b2=2.所以a=2，c= .

故椭圆C的离心率e= = .

（Ⅱ）直线AB与圆x2+y2=2相切.（证明过程省略）

小结 ①直线与圆的交点问题通常用几何意义来求解更便捷，也就是说，用圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系来看交点个数问题，用公式l2=r2-d2来计算弦长，其中r是圆的半径，d是圆心到直线的距离，l是弦长的一半.② 直线与圆锥曲线的交点问题包含弦长、中点、垂直、对称、面积计算等，通常用判别式和“设而不求”来处理.

例3 （湖南理科卷第21题）如图2，O为坐标原点，椭圆C1： + =1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1;双曲线C2： - =1的左、右焦点分别为F3，F4，离心率为e2.已知e1e2= ，且|F2F4|= -1.

（Ⅰ）求C1，C2的方程.

（Ⅱ）过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点.当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值.

解 （Ⅰ）由于e1e2= ，所以有 ・ = ，即a4-b4= a4，整理得a2=2b2.于是可知点F2的坐标为（b，0），点F4的坐标为（ b，0），则 b-b=|F2F4|= -1，所以b=1，a2=2.

故C1，C2的方程分别为 +y2=1， -y2=1.

（Ⅱ）四边形APBQ面积的最小值为2.（解答过程省略）

小结 求圆锥曲线的最值一般要分解为三个步骤：①将所求图形面积相关的量表示出来.如果是三角形，谁作底？谁作高？图形要不要分解？如果是其他图形，如何分解才能方便计算？这些问题在解题时要认真思考，在具体计算中可能要用到弦长、点到直线的距离等公式.求焦点弦的长时，学生要注意定义的运用.②将图形面积表示出来，并进行整理化简.③根据面积表达式的特点求最值.

例4 （重庆理科卷第21题）如图3，设椭圆 + =1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上，DF1F1F2， =2 ，DF1F2的面积为 .

（Ⅰ）求椭圆的标准方程.

（Ⅱ）设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径.

解 （Ⅰ）椭圆的标准方程为 +y2=1.（解答过程省略）

（Ⅱ）圆的半径为 .（解答过程省略）

小结 在近年的高考数学试题中，圆与圆锥曲线、圆锥曲线与圆锥曲线的综合运用有所加强，即在同一问题中同时出现两种曲线的综合题.对于这类题，很多学生觉得深不可测、高不可攀，其实不然.首先，综合题都是分步设置，循序渐进，它的起始问题不太难，大家千万不要放弃;其次，学生要注意前后问题之间的联系，前面的问题往往是为后面的问题解决作铺垫，要充分用好前面的结论;再次，数形结合思想、方程思想、“设而不求”是解决这类问题的重要思想方法，解题的步骤基本一致;最后，这类问题涉及的参数多，运算复杂，只有严把运算关，学生才能确保解题正确.