解析几何·抛物线

一、选择题（每小题4分，共40分，每小题只有一个选项符合题意）

1. 抛物线[y=ax2]的准线方程为[y=-1]，则实数[a]的值是（ ）

A. [14] B. [12]

C. [-14] D. [-12]

2. 设圆[C]与圆[x2+（y-3）2=1]外切，与直线[y=0]相切. 则[C]的圆心轨迹为（ ）

A. 抛物线 B. 双曲线

C. 椭圆 D. 圆

3. 已知抛物线关于[x]轴对称，它的顶点在坐标原点[O]，并且经过点[M（2，y0）].若点[M]到该抛物线焦点的距离为3，则[|OM|=]（ ）

A. [22] B. [23]

C. 4 D. [25]

4. 已知抛物线[y2=2px（p>0）]，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于[A]，[B]两点，若线段[AB]的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（ ）

A. [x=1] B. [x=-1]

C. [x=2] D. [x=-2]

5. 已知直线[y=k（x+1）]与抛物线[C： y2=4x]相交于[A，B]两点，[F]为抛物线[C]的焦点，若[|FA|=2|FB|]，则[k=]（ ）

A. [±223] B. [±23]

C. [±13] D. [23]

6. 若直线[l]与抛物线[C：y2=2px（p>0）]交于[A（x1，y1），B（x2，y2）]两点，[F（p2，0）]是抛物线[C]的焦点，则“弦长[|AB|=x1+x2+p]”是“直线[l]经过点[F]”的（ ）

A. 充分而不必要条件

B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

7. 设斜率为2的直线[l]过抛物线[y2=ax（a≠0）]的焦点[F]，且和[y]轴交于点[A]，若[OAF]（[O]为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（ ）

A. [y2=±4x] B. [y2=±8x]

C. [y2=4x] D. [y2=8x]

8. 抛物线[y=4x2]上一点到直线[y=4x-5]的距离最短，则该点的坐标是（ ）

A. （1，2） B. （0，0）

C. [（12，1）] D. （1，4）

9. 过抛物线[x2=2py（p>0）]的焦点[F]作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于[A，B]两点（点[A]在[y]轴左侧），则[|AF||FB|=]（ ）

A. [13] B. [25]

C. [12] D. [35]

10. 已知抛物线[y2=4x]的焦点为[F]，准线与[x]轴的交点为[M，N]为抛物线上的一点，且[|NF|=32|MN|]，则[∠NMF=]（ ）

A. [π6] B. [π4]

C. [π3] D. [5π12]

二、填空题（每小题4分，共16分）

11. 已知抛物线[y2=4x]与直线[2x+y-4=0]相交于[A]，[B]两点，抛物线的焦点为[F]，那么[|FA|+|FB|=] .

12. 已知抛物线[C： y=2x2]的焦点为[F]，准线为[l]，以[F]为圆心且与[l]相切的圆与该抛物线相交于[A]，[B]两点，则[|AB|=] .

13. [AB]是抛物线[y2=x]的一条焦点弦，若[|AB|][=4]，则[AB]的中点到直线[x+12=0]的距离为 .

14. 已知[FAB]，点[F]的坐标为[（1，0）]，点[A]，[B]分别在图中抛物线[y2=4x]及圆[（x-1）2+y2=4]的实线部分上运动，且[AB]总是平行于[x]轴，那么[FAB]的周长的取值范围为 .

三、解答题（共4小题，44分）

15. （10分）已知向量[e=（1，0）]，[O]是坐标原点，动点[P]满足：[|OP|-OP?e=2.]

（1）求动点[P]的轨迹；

（2）设[B，C]是点[P]的轨迹上不同两点，满足[OB=λOC（λ≠0，λ∈R）]，在[x]轴上是否存在点[A（m，0）]，使得[ABAC]，若存在，求出实数[m]的取值范围；若不存在，说明理由.

16. （10分）设[F（1，0）]，[M]点在[x]轴的负半轴上，点[P]在[y]轴上，且[MP=PN]， [PMPF].

（1）当点[P]在[y]轴上运动时，求点[N]的轨迹[C]的方程；

（2）若[A（4，0）]，是否存在垂直[x]轴的直线[l]被以[AN]为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出直线[l]的方程；若不存在，请说明理由.

17. （12分）已知：曲线[C]上任意一点到点[F（1，0）]的距离与到直线[x=-1]的距离相等.

（1）求曲线[C]的方程；

（2）过点[F（1，0）]作直线交曲线[C]于[M，N]两点，若[MN]长为[163]，求直线[MN]的方程；

（3）设[O]为坐标原点，如果直线[y=k（x-1）]交曲线[C]于[A]，[B]两点，是否存在实数[k]，使得[OA?OB][=0]？若存在，求出[k]的值；若不存在，说明理由.

18. （12分）已知抛物线[x2=y]，[O]为坐标原点.

（1）过点[O]作两相互垂直的弦[OM，ON]，设[M]的横坐标为[m]，用[m]表示[OMN]的面积，并求[OMN]面积的最小值；

（2）过抛物线上一点[A3，9]引圆[x2+y-22][=1]的两切线[AB，AC]，分别交抛物线于点[B，C]，连接[BC]，求直线[BC]的斜率.