指数函数与对数函数疑难问题的求解

摘 要：指数函数和对数函数是两种重要的基本初等函数，是学习和研究其它函数的基础。本文中我仔细分析了求解指数函数和对数函数过程中会遇到的疑难问题，并且通过研究典型例题，总结出了求解指数函数和对数函数的方法。这为求解复杂函数疑难问题打下了坚实基础。

关键词：指数函数，对数函数，疑难问题，求解方法

一、指数函数和对数函数的主要问题

1）求解含有指数式或对数式的各种问题，关键在于会熟练运用指数和对数的运算法则与运算性质。但是，许多学生不熟悉指数函数和对数函数的图像与性质，因而求解指数式和对数式问题非常困难。

2）求解含有指数式或对数式的各种问题，重点在于频繁使用指数、对数函数值的变化特点，分析时常常还要结合指数、对数的特殊值。

3）含有参数的指数、对数函数的讨论问题是高考的重点题型，解决这类问题的基本方法是以“底”大于1或小于1分类。

4）指数函数和对数函数常常与其它函数组合成复合函数，许多学生不明白复合函数的定义域、值域及单调性，从而无法求解。而高考更多的把考点放在了指数函数、对数函数的相关性质及其与其它方面知识点的交汇地方，因此要努力提高综合解题能力。

二、利用函数单调性求解

求解复合函数的单调性问题，一般分两步进行：首先要考虑定义域，其次再考虑单调性。并且，在考虑单调性的时候，特别要注意复合函数单调性的判别法则（同向为增，异向为减，简称“同增异减”）。

例1：设函数 ，其中 ，解不等式 。

分析 本题是对数不等式问题，应通过考虑对数函数的单调性，把求解函数不等式问题转化为求解代数不等式问题。但是在转化过程中，必须注意对数函数的真数大一。

解法1 因为 所以

（1）

（2）

解不等式（1）得： 或 ；解不等式（2）得： 或

又 原不等式的解集为 或

解法2 函数 的定义域为 或

，当 时， 符合题意

当 时，解方程 得 利用复合函数的性质可知 在 上是单调递减函数。 时，

点评：解法1直接根据对数函数 是单调递减函数把复合函数不等式问题转化为代数不等式求解。解法2则先满足定义域 或 ，再分别在这两个区间内讨论求解。若去掉条件 ，则需要分 和 两种情况讨论。

三、利用数形结合思想求解

数形结合思想是高中数学中重要的思想方法之一。指数函数和对数函数具有明显的图像性质，利用其图像性质我们能快速地求解问题。在指数函数和对数函数的学习中，我们应当特别注意。

例2：如果不等式 在 内恒成立，那么实数的取值范围 （ ）

A、 B、 C、 D、

分析：本题是一个恒成立问题，如果想直接解不等式是很困难的，一般思路：将变形成 ，要符合题义，（即 的最大值比 的最小值小, ）, 的值大于零小于 ，而 的最小值要根据 的范围而定，分类讨论：

（1）、 时， 显然不成立

（2）、 ， 的最小值为 ，故 ，所以

但是上述解题分析过程抽象，如果应用函数图形解则将直观简洁。

解：构造函数： , 要使得不等式 在

内恒成立，只须 的图象比 的图象高即可，图1和图2分别展示了 和 时的图像。故 ，所以

图1 当 时， 与 图像 图2 当 时， 与 图像

四、利用换元法的思想求解

例3：设对所有实数x，不等式 恒成立，求实数 的取值范围。

分析：本题是一个不等式恒成立问题。如果直接求解，将非常繁琐。我们可以使用换元法把一元二次不等式的结构简化，从而运算得到简化。

解：令 ，则原不等式化为 恒成立，即是

恒成立。解此不等式得 ，即是 ，解得 即是所求的取值范围。

五、利用分类讨论思想解题

例4：已知函数 ，对定义域内的任意 都有 成立．

（1）求实数 的值；

（2）若当 时， 的取值范围恰为 ，求实数 的值．

解：（1）由 及 可得：

解之得： ．

当 时，函数 无意义，所以，只有 ．

（2） 时， ，其定义域为 .

所以， 或 ．

①若 ，则 ．为研究 时 的值域，可考虑 在 上的单调性．下证 在 上单调递减．任取 ，且 ，则

又 ，所以， ，即 ．所以，当 ， 在 上单调递减

由题： 时， 的取值范围恰为 ，所以，必有 ，解之得： （因为 ，所以舍去 ）

②若 ，则 ．又由于 ，所以， ．

此时，同上可证 在 上单调递增（证明过程略）．所以， 在 上的取值范围应为 ，而 为常数，故 的取值范围不可能恰为 ．所以，在这种情况下， 无解．

综上，符合题意的实数 的值为 ，

六、总结

学习指数函数和对数函数的知识重点在于充分理解指数函数和对数函数的定义、图像和性质，难点在于熟练运用数形结合、分类讨论、等价转换以及函数方程思想这四种重要的思想方法。在含有指数函数或对数函数的问题中，我们要特别注意以下几点：

1）指数函数的定义重在“形式”，像 等函数形式都不符合形式 ，因此，它们都不是指数函数。

2）对数函数的底数大于0且不等于1，真数必须大于0。求解含对数式问题时一定要特别注意。

3）在进行对数函数四则运算时，特别要注意对数是否同底数，是否满足运算的规则，还有就是不能错记运算法则。

4）在进行换元法求解问题时，要注意换元后“新元”的取值范围。

5）在对数式合并化简过程中，容易引起自变量的变化，因此要先求定义域，再化简。

6）求解含参数的指数函数 和对数函数 的问题时，因其图像和性质受 得影响，往往要分 和 两种情况讨论。

指数函数和对数函数的知识特别是其中包含的数学思想方法，是今后进一步学习的其它数学内容的基础。这些知识和方法一直是高考的重点，其中函数的应用更是近几年高考的热点。