浅谈学生逆向思维的培养

摘要:逆向思维是数学思维的一种重要方式,是创造性思维的一个重要组成部分,是开拓性人才必备的思维品质. 如何在教学中培养学生的逆向思维,加强学生的逆向思维训练,就显得比较重要了.

关键词:教学;培养;逆向思维

在多年的教学实践中,笔者深深体会到由于受现行教材内容的影响,学生往往只有正向的思维活动,缺乏逆向思考的意识. 对于一个问题,学生往往试图从正面思考来获取答案,而很少进行逆向思考,以致思维发展受到抑制. 在提倡创新教育的今天,如何培养学生的逆向思维就显得尤为重要了.

创新教育是当今教育的一个热门话题,创新教育的核心是发展学生的思维能力. 一个人的思维能力是指人的理性认识过程,按思维过程的指向性可以分为正向思维和逆向思维. 逆向思维是根据某种观念(概念、原理和思想等)、方法或研究对象的特点,从它的相反或否定的方向进行思考,以产生新的观念. 逆向思维是数学思维的一种重要方式,也是创造性思维的重要组成部分. 它与正向思维看似矛盾,实则相辅相成,具有同等的重要性.

由于在教学中受到现行教材内容的影响,学生的逆向思维往往缺乏足够的训练. 然而对于多数问题,正向思考是很难获得正确答案的,采用逆向思考的方式反而可使问题得到快速解决,甚至还可得到一些创新的方法及成果. 那么,如何在教学中培养、加强学生逆向思维的训练呢?

改变传统教学模式,树立新的教育理念

在传统的教学中,教师是知识的传授者,学生是知识的接受者. 学生的思维往往受控于教师,缺乏逆向思维的意识,易形成思维定式. 对于一些问题,学生只会按教师总结的方法、步骤去进行考虑,或是以某些经常使用的相对固定的思维方式进行思考. 在新的课程标准下,课程不仅是知识、经验,也是活动. 课程是教材、教师、学生、环境四个因素的整合,它不再是知识的载体,而是教师和学生共同探求新知识的过程. 在教学过程中,每个学生都带着自己生活的经验、背景,带着自己的独特感受来到课堂进行交流. 因此在教学时,教师应改变传统的教学模式,树立新的教育理念. 这样的学习环境,也有利于学生逆向思维的培养.

营造宽松的学习氛围,努力提供逆向思维的沃土

环境氛围是事物发展的重要条件. 在教学过程中,教师应给学生创造一个宽松的心理环境,支持和容忍学生标新立异、偏离常规的思维. 要让学生感到“心理安全”和“心理自由”,保护学生的好奇心. 只有在这样的气氛中,学生才能自由自在、轻松愉快地交流、创新. 因此,教师应努力建立课堂教学新模式,留给学生一定的思维空间,这对培养学生的逆向思维极为重要.

恰当运用激励评价,激发学生的逆向思维

兴趣是最好的老师,有了兴趣才能调动学生的积极性. 教师在教学时要鼓励学生发挥想象. 爱因斯坦说过,“想象比知识更重要,想象推动着进步”. 对于学生提供的思路教师应予以及时的肯定,鼓励学生开展自我评价,给学生足够的时间,鼓励学生反复思考,拓展思维的深度和广度.

注重“双基”的培养,加强认识结构的积累

逆向思维需要把学生的知识、思想和方法,按照自己理解的深度和广度,结合感觉、知觉、记忆、联想和习惯等认识特征,在头脑中形成一个具有内部规律的整体结构. 因此对学生逆向思维的培养也必须重视学生基本功的培养,否则培养学生的逆向思维就会变成无本之木,无源之水. 但这并不等于说是有了“双基”教育后再进行逆向思维的训练,而应当是在“双基”教育中予以渗透,二者相辅相成.

利用知识的双向性,培养学生的逆向思维能力

数学中所有的概念、原理、法则以及思想方法都是具有双向性的. 教师在教学时要注意合理运用知识的双向性,突破习惯思维的框架,培养学生的逆向思维能力. 例如概念的定义与分类一般都具有对称性,这就是一种双向性的表现.

1. 逆向运用概念,培养思维的合理性

例1方程组x2+y2=13,x+y=5的解是()

A. x=1y=4 B. x=3y=2

C. x=2y=3 ?摇?摇 D. x=3y=2 或x=2y=3

分析根据方程组解的定义:“方程组的解就是使方程组中每一个方程都成立的未知数的值”,只需把答案代入检验即可,而不必再具体地解此方程组.

例2设a,b是相异的两个实数,且满足a2=4a-3,b2=4b-3,则+= .

分析因为a,b是一元二次方程x2-4x+3=0的两根,

所以a=3,b=1.

所以+=.

2. 逆向运用公式,培养思维的灵活性

例3计算(0.04)2009×[(-5)2008]2.

分析本题如按常规的运算顺序直接计算显然数字较大,笔算是不可能完成的;如逆向运用乘法公式,就会立刻达到“拨开云雾见明月”的境界.

(0.04)2009×[(-5)2008]2=(0.04)×(0.04)2008×[(-5)2008]2

=(0.04)×(0.04)2008×[(-5)2 ]2008

=(0.04)×[0.04×(-5)2 ]2008

=0.04×12008

=0.04.

3. 利用反例谬误结论

例4判断下列说法是否正确:

(1)任何数都不等于它的相反数;

(2)互为相反数的两个数的同一偶次方相等;

(3)如果a大于b,那么a的倒数小于b的倒数.

分析本题可利用具体的数,通过特例进行归纳,认为不对的只需举出反例即可. 这也体现了数学中从特殊到一般和从一般到特殊的数学思想.

4. 变换主元法

例5若关于x的方程x2+2ax+12a2-5=0有正整数解,则a= .

分析对于这道题,通常大家都把此方程中的x看作未知数,a看作已知数. 这样做显然不易求解. 反之,若我们把a看作未知数,x看作已知数,则由一元二次方程的求根公式可得:

a==.

因为方程x2+2ax+12a2-5=0有正整数解,

所以x=1或x=2.

当x=1时,a=或-,

当x=2时,a=或-,

把a=,-,,-代入原方程知,只有当a=或时,方程有正整数解.

利用正难则反的策略,培养逆向思维的习惯

数学问题千变万化,解题策略在数学问题的解决中具有重要的作用,逆向思维就是常见的解题策略之一. 解题时如拘泥于几种习惯,是不会游刃有余的. 顺向推导有困难就考虑逆向推导,正面求解受阻就反面求解,直接求解不奏效就间接进行,肯定命题有困难就反例否定,探讨可能性失败就转向探讨不可能性等. 这种逆反转换式的思维方式体现了思维的灵活性,时常会产生全新的思想和方法,同时也反映了数学问题因果关系的辩证统一.

在具体的数学解题过程中,分析法、反证法、逆推法、排除法、同一法、变量与常量的换位、补集法等方法技巧都是正难则反策略的应用.

例6如方程x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实根,求实数a的取值范围.

分析三个方程中至少一个有实根,按正向思维的常规方法就要进行分类讨论,再求其并集,这显然是很复杂的. 如果是从它的反面“三个方程全无实根”来考虑,就只有一种情况,这就简单多了. 即:

(4a)2-4(-4a+3)?摇

即当-

所以,要使三个方程中至少一个有实根,则实数a的取值范围应为a≤-或a≥-1.

例7某次乒乓球比赛共有101名运动员参加,如采用淘汰制,那么决出冠军共需安排多少场比赛?

分析如按习惯思维从胜利者角度出发,第一轮比赛100名运动员安排50场比赛,1人轮空,比赛后51人进入下一轮;第二轮比赛50名运动员安排25场比赛,1人轮空,比赛后26人进入下一轮……依次下去,这样可得出题目的答案. 但这样思考较为烦琐,如果进行逆向思考,从失败者角度来观察,就简单多了,即每一场比赛要淘汰1名失败者,决出冠军就要淘汰100名失败者,因而共需安排100场比赛.

当然在培养逆向思维的同时,仍不能忽略正向思维的作用,因为逆向思维是建立在正向思维的基础之上的,它离不开正向思维的背逆.

数学思维素质与逆向思维彼此息息相关,加强逆向思维的训练,不仅可以使学生灵活运用数学知识,开拓解题思路,提高解决问题的能力,同时也可以拓展学生思维,促进良好思维素质的形成. 教师在教学中要有意识地对学生进行逆向思维的训练,使之深入人心,有效地提高学生的思维能力,培养创新意识.

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