浅谈小学数学典型应用题的课外辅导

一次，几位同行在一起闲聊一道练习册中的一道疑难问题：“若从A班调10人到B班，则两班人数就相等，若从B班调15人到A班，这时A班的人数恰是B班人数的3倍，问A、B两班原各多少人？”这是一道较难的“差倍问题”的典型应用题，现行小学数学教材为了减少重复学习，已把许多典型应用题移到初中代数《方程组》中去学习，但在不少练习册中又把它作为智力开发题常有出现。对这些不时出现的典型应用题，可借用科技活动或课外活动时间对学生进行辅导讲座，去拓宽学生的知识视野，是很必要的。

典型应用题具有它固有的特征及特定的解决方法，学习辅导时绝对不能用公式去硬套，而应从已知到未知，由具体到抽象的方法去认知其特征，探求解法，掌握其规律，会用其方法。就以前面谈到的“差倍问题”为例，浅谈个人的辅导想法。先让学生认知：“现有苹果8个，梨2个，苹果比梨多6个，苹果是梨的4倍，梨是苹果的1/4，6是2的3倍，6是8的3/4。”然后提出问题：“（1）已知苹果的个数是梨的4倍，苹果比梨多6个，问苹果和梨各有多少个？（2）已知梨的个数是苹果的1/4，梨比苹果少6个，问苹果和梨各有多少个？”让学生比较思考这两题有何相同之处及不同之处。相同之处：都告了苹果与梨之差是“6”及苹果和梨的倍数关系（苹果是梨的4倍，梨是苹果的1/4）都是求苹果和梨各有多少；不同之处：一个的倍数是整数“4”大于1，一个的倍数是分数“1/4”小于1，“标准量”也不同，一个的标准量是“梨的个数”，一个的标准量是“苹果的个数”。接着才引导学生探求解题步骤及方法。题（1）先从告知的倍数关系“苹果的个数是梨的4倍”中找出标准量，标准量是“梨的个数”（标准量通常把它视为整体“1”），然后作图分析数量关系，寻找求“标准量（梨的个数）”的方法：

从图示中可以看出梨占1份，苹果占4份，苹果比梨多的“6”个恰是3份，即6为梨的3倍，“3”是4与1的差，就是倍数4与标准量“1”之差，这时问题就转化成“已知梨的3倍是6个，求梨是多少？”显然梨的个数应该是6÷3=2（个），也就是6÷（4-1）=2（个），又知“苹果是梨的4倍”，则苹果的个数是2×4=8（个）。

紧接着归纳解题方法：先标准量（梨的个数）6÷（4-1）=2（个），再求另一个量（苹果的个数）2×4=8（个）。

题（2）仍先从告知的倍数关系“梨的个数是苹果的1/4”中，找出标准量，标准量是“苹果的个数”，再作图分析数量关系，寻找求标准量（苹果的个数）的方法：

从图中不难看出苹果个数的3/4正好是6（个），3/4恰是1与1/4的差，即标准量“1”与倍数1/4之差，这时问题就转化为“已知苹果个数的3/4是6，求苹果的个数（待学生学习了分数除法应用题后自然明白其解法）”，显然标准量（苹果的个数）是6÷3/4=8（个），又知“梨的个数是苹果的1/4”，则梨的个数应是8×1/4=2（个）。

紧接着归纳解题方法：先求标准量（苹果的个数）6÷（1-1/4）=8（个），再求梨的个数应是8×1/4=2（个）。

最后小结：“差倍问题的共同特征是‘已知两数的差及他们的倍数关系，求这两数’。”解题的步骤是：先求“标准量”，再求另一个量。解题的关键是：确定好“标准量”及“差”。解题的方法是：差÷倍数=标准量（倍数差，当倍数大于“1”时，用“倍数-1”，当倍数大于“1”时，用标准量“1-倍数”），标准量×倍数=另一个量。

回到前面提到的疑难问题谈谈个人的见解：解此题的关键是找出从B班调15人到A班后，这时A班与B班人数之差和标准量。“若从A班调10人到B班，则两班人数就相等”，这就告知我们，A班原有人数就比B班人数多20人（10×2=20），又“从B班调15人到A班”，这时A班又比B班多30人（15×2=30），加上A班原来就比B班多20人，实际相差就是20+30=50人。标准量应是从B班调15人到A班后的B班人数。根据“差倍问题”的解法可知：从B班调15人到A班后的B班人数是：（10×2+15×2）÷（3-1）=25（人），则B班原有人数应是25+15=40（人），A班原有人数应是：35×3-15=60（人）或40+20=60（人）。