深度参与让学习真正发生

数学是一门特别的学科，数学学习中的模仿和记忆只占微小的部分，更多地需要学生的理解，需要学生在不断的探索中，打破固有认识，形成新的稳固的知识结构。《数学课程标准》指出：“有效的数学学习不能单纯依靠模仿和记忆，动手实践、自主探究和合作交流也是学生数学学习的重要方式。”从这个角度来看，数学教学中应该加强学生的主动性，突出学生的主体地位，让他们在不断的尝试和探究中去发现，去获取，去主动建构数学知识体系，达成深度数学学习。

在数学教学中，我们要注重给学生探索的机会，让学生建立在比较和发现的基础上去主动建构数学知识，形成数学领悟，达成深度学习。具体可以从以下几个方面来展开：依托生活经验来促进数学认识，达成概念的清晰化；依托探索比较来推升数学学习，促进认识的深入化；依托数学本质来推动学生领悟，形成方法的自然化；依托操作活动来凸显数学规律，助力建构的真实化。

依托生活经验，认识数学概念

学生在走进课堂时并非一无所有，他们的生活经验和已有的数学基础都会在学习过程中起作用。因此，我们在教学中首先要考虑教学内容与学生过往生活之间的联系，考虑到影响学生抽象出数学概念的因素，然后制订相应的策略，引导学生在生活经验的基础上发掘概念的数学本质属性，达成概念的清晰化。当然，生活经验对学生的概念建构有两种方向不同的影响：一种是正向促进作用，另一种是负向干扰作用。在学习中，我们要有所甄别，有选择地利用学生的生活经验。

例如：在“平移和旋转”的教学中，笔者首先创设了一个游乐场的情境，将学生带入不同的项目中，让学生一边看图一边做动作，想象一下在玩这个项目时人会做什么样的运用――在看到摩天轮、旋转木马等项目的时候，学生不由自主地将手圈动起来；而在看到弹簧床、火箭升空等项目的时候，学生做了很夸张的上下运动的手势。所有的项目呈现完毕后，笔者将这些项目做一个定型，让学生面对这些项目，回忆刚才的手势，尝试根据不同项目中运动方式的不同来将这些项目分类。学生很自然地将这些运动方式分成了旋转和移动两种。在这样的认识的基础上，笔者再让学生自己给这两种不同的运动方式取个名字，在生活中找一找哪些物体的运动形式跟这些运动方式是一致的，学生就深入到生活实际中去找到很多的例子。在这个案例的学习中，笔者没有给学生定义怎样的运动叫作平移，怎样的运动叫作旋转，而是给学生一个熟悉的生活情境，让他们自己用眼睛去观察，用手势去模仿，用大脑去思考，这样自己抽象出两种不同运动方式来，之后再让学生走进更广阔的生活天地去丰富已有的认识，学生对这两种运动形式的认识就足够清晰了。

另外一个教学实例是“角的认识”。因为学生在生活中认识的角是立体的、多元的，而数学概念中的角是比较规范的，所以，笔者在教学中力图让学生自己来抽象出“数学角”。实际教学时，笔者以这样一个情境来引入：两只河马在比谁的嘴张开得更大，你能来做个公正的裁判吗？在情境中，笔者请用两只手来比划一下两只河马嘴张开的样子，让学生发现判断河马的嘴张开的大小就是要看两只手张开的程度。如果我们把河马嘴张开的样子画出来，只要用两条一端相连的线即可，当然，我们还可以运用学具盒中的活动小棒来做成一个“角”。在这个过程中，学生对角的第一认识就建立了，也感知到判断角的大小就是看两条线张开的程度。之后，笔者再引导学生来观察角，认识到角的各部分名称，学生脑海中的“数学角”的概念就初步建立了。很显然，这样的角是有别于生活中的一些角的，比如动物的角，当学生的学习达到一定的火候时，笔者再将这样的角拿出来让学生比较，学生就建立了生活中的角是个物体，数学上的角是反映两条边张开的程度的概念。在这样的学习中，学生对角的认识经历了三个过程，从河马的嘴张开的样子到用手来模拟再到将决定河马的嘴张开的程度的关键因素画出来，学生一步步接近了角的数学概念，经历这样三个过程，学生的认识就从生活中迁移到数学中来，形成了清晰的认识。

这两个案例中的数学概念的建构都没有离开生活经验，不同的是，第一个案例的学习更多的是生活经验的数学化，而第二个案例中的生活经验是“取其精华，去其糟粕”。在实际教学的时候，我们要让学生根据自己的认识来逐步将生活经验数学化，建立严谨、准确的数学概念，这样的学习会让学生获益匪浅。

依托探索比较，学习数学知识

很多数学知识是彼此关联的。在数学学习中，我们不能将知识孤立开来，而是要将新问题放到学生熟悉的环境中，调动学生已有的知识经验来寻找获取新知识的突破口，这样学生起来会事半功倍，会更加得心应手。同时，学生在探索与比较的过程中能够发现新旧知识间的相同和不同，能够抓住两者的本质特征来区分他们，这对于学生认识的深入起到至关重要的作用。

例如：在“百分数的认识”教学中，因为学生在生活中已经接触过不少百分数，在之前的数学学习中也有碰到百分数的情形，所以，笔者在实际教学中就直接让学生来说自己找到的百分数表示的含义。几位学生分别走上前来介绍自己找到的百分数：衣服的标签上写着“棉：40%”，学生很容易套用分数的意义来解释这个百分数――衣服中棉的成分占所有材料100份中的40份；“全班学生的30%会游泳”，学生很快说出“会游泳的学生占全班人数100份中的30份”。在他们习惯性套用分数的意义来尝试解释百分数的含义后，笔者提出更高的要求：“能不能换种形式让我们一目了然地知道你带来的百分数表示什么含义？”在经过独立思考和小组交流之后，学生们展示了自己的认识：有的用线段图来表示出简单的百分数；有的提出可以用一个有100格的正方形来表示百分数。笔者肯定了他们的做法，并补充了利用圆来表示百分数的方法，让学生对百分数的感知由语言层面上升到直观形象上。在此之后，笔者让学生们比较百分数和分数的联系与不同，学生们的发现就多样了。有的学生表示：百分数和分数表示的意义是相同的，都是将单位“1”平均分成若干份，表示其中的几份来，不同的是百分数规定了将单位“1”分成的分数只能是100，而普通的分数不一定。有的学生表示：百分数其实就是一种特殊的分数。还有的学生认识到：两者最大的区别就是分数既可以表示两个量之间的关系，又可以是一个具体的数量，而百分数只能表示两者之间的关系，不能表示一个具体的量。笔者认为：学生们之所以有这样深刻的认识，过往的数学经验是不容忽视的，建立在认识分数意义的基础上，学生不但搞清楚了百分数的含义，而且充分认识到两者的联系和区别，这为他们深刻的认识打下了坚实的基础。

依托数学本质，引导学生领悟

荷兰数学教育家弗赖登塔尔说过：“学习数学的唯一正确方法是实行再创造。”这样的说法指出了学生自己领悟的重要性，好的教师不是强行将自己知道的东西灌输给学生，而是有能力引导学生经过自己的研究和思考总结出规律，让学生的数学知识建构在自己的理解之上，这样的学习也会更加真实更加自然。

例如：在教学“用方程解决实际问题”的时候，教学的障碍在于不少学生的方程思想比较淡薄，他们习惯于用数学方法来解决问题。所以，我们在实际教学中要让学生经历探索问题的过程，自己发现用方程解决问题的好处，从而自然地选用方程来促进问题的解决。在实际教学时，笔者给出了这样一个相对复杂的问题：“小明和小华各收集了一些邮票，小华的邮票有72张，比小明的两倍少18张，求小明原来各有多少张邮票？”学生独立尝试后列出算式来计算，经过统计发现近半的学生犯了错，有的用72÷2-18，有的用（72-18）÷2，还有的用72÷2+18。在一些学生将自己的线段图展示出来之后，其中一些学生认识到自己的算法是错误的。于是，笔者请出错的学生说一说自己错误的原因。很多学生谈到一点，就是没有先求出小明邮票的两倍是多少，而是根据两倍的关系首先用72除以2，分析学生这个思路，其实是缺乏整体认知，没有能够将“小明邮票的两倍”看成一个整体，先行求出这个整体是多少。在这样的背景下，笔者引导学生用未知数来代表小明，把小明的邮票数和小华的邮票数之间的关系找出来，学生很快找到X×2=72+18或者X×2-18=72这样的等式。交流这种方法的时候，学生们认为列式计算和用方程来解决问题各有好处：用方程来解决这样的问题的时候很容易找到等量关系，可以直接根据“谁比谁的几倍多（少）多少”来确定做比较的两个量，所以列出方程比较轻松；而列式计算的计算过程比较简单，列的式子容易犯错误。在对比两种方法的时候，大部分学生还是选择了方程。这样的学习，不需要教师将方程的方法强加给学生，只要引导他们自己去回味两种方法的思考过程，学生自然会做出选择，这样的领悟比别人给予的方法要有效得多。我们在实际教学中就是要让学生自己在一定的背景中认识到问题，自己选择适合自己的方法，建构专属于自我的知识体系。

依托操作活动，建构数学体系

有效的数学建构不能停留在猜想上，需要让学生带着问题深入实际，自己去操作和探索，从而找到问题的关键，并以此为开端来挖掘数学规律，完善认知体系。这样的学习，可以给学生更真实的体验，更多样的认识，让学生更接近真实的数学，为数学建构过程助力。

例如：在“圆柱的表面积”的计算中，笔者直接出示一个圆柱体，请学生说一说它的表面积包括哪些部分，然后提出问题：“想要计算出圆柱体的表面积，我们可以怎样做？”有学生很快回答：“只要算出圆柱上下两个底面的圆的面积，再加上圆柱的侧面的面积就可以了。”在这个回答的基础上，笔者引导学生去思考哪种面积是我们现在已经掌握的，哪种面积需要我们去探索，从而将学生的注意力牵引到求圆柱体的侧面积的问题上；之后的学生交给学生自己去探索。在行g巡视的时候，笔者发现很多小组的学生通过合作将圆柱体分解来开，将圆柱的侧面展开来研究，虽然他们展开的方式不尽相同，但是在交流中学生发现无论是将这个侧面展开成一个长方形还是展开成一个平行四边形，都可以用底乘高来计算面积，而两个平面图形的底都等于圆柱体的底面圆的周长，高等于圆柱体的高。至此，求圆柱表面积的问题水落石出。这样的学习完全放权给学生，让他们根据自己的猜想去尝试，去挖掘，让他们在自己的活动中来建构数学知识体系，学生在这样的过程中收获的不仅是数学知识，而且有数学学习的方法，有宝贵的学习经历，这对于学生后续的数学学习是有帮助的。

结束语

高效的数学学习依赖于学生主体，需要激发学生的主观能动性，让他们在认识问题、发现问题、提出问题和解决问题的过程中，完成认识的推进和知识的建构，这样的学习更加有意义，并能促进学生的可持续数学学习，引领数学课堂走向深入。

参考文献

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（作者单位：江苏省海门市汤家中心小学）