基于ARMA―GARCH模型的股票价格分析及预测

[摘 要]文章基于潍柴动力2014年7月1日至2015年3月26日180个交易日的收盘价数据，通过R软件建立模型，对3月最后三个交易日的收盘价进行预测，预测值与真实值非常接近，能够为有关该只股票的决策提供一定的帮助。

[关键词]股票价格预测；ARMA模型；GARCH模型；条件异方差

[DOI]10.13939/ki.zgsc.2017.01.068

1 绪 论

1.1 研究背景

随着经济的发展和社会的进步，股票走进了越来越多中国人的生活之中，如何分析和预测股票价格并做出决策已经成为当前热点。本文给出了一个基于ARMA模型和GARCH的预测方法，能够为投资者的决策提供一些帮助。

1.2 ARMA（p，q）模型简介

一般的ARMA（p，q）模型的形式为：

rt=0+pi=1irt-i+αt-qi=1θiαt-i

其中{at}是白噪声序列，p和q分别表示自回归和滑动平均的阶数，它们都是非负整数。AR和MA模型是ARMA（p，q）的特殊情形。如果特征方程所有根的绝对值都小于1，则该ARMA模型是弱平稳的。这时，模型的无条件均值为E（rt）=0/（1-1-…-p）。

若AR多项式有单位根1，则ARMA模型就变成了ARIMA模型，则单位根是非平稳的。处理单位根非平稳性的惯用方法是差分化。ARIMA模型的具体表达形式是ARIMA（p，d，q），d表示差分的阶数。差分化后将模型变为平稳的再利用ARMA模型建模。

1.3 ARCH效应

回归模型的随机扰动项αt在不同的观测值中的方差不等于一个常数，这时我们就称随机扰动项αt具有条件异方差性，即所谓的ARCH效应。记αt=rt-μt为均值方程的残差，则可以用平方序列来检验ARCH效应。检验ARCH效应的常用方法是将通常的Ljung-Box统计量{Q（m）}应用于序列{α2t}。

1.4 GARCH模型

对于时间序列rt，令αt=rt-μt为t时刻的新息。称αt服从GARCH（m，s）模型，若αt满足下式：

αt=σtεt， α2t=α0+mi=1αiαt-i2+sj=1βjσt-j2

其中{εt}是均值为0、方差为1的独立同分布随机变量序列，α0>0， αi≥0， βi≥0，max（m， s）i=1（αi+βi）m，αi=0，对j>s，βj=0）。对αi+βi的限制条件保证αt的无条件方差是有限的，同时它的条件方差σ2t是随时间变化的。如前面一样，通常假定εt是标准正态的或标准化的学生-t分布或广义误差分布。若s=0，上式就简化成一个ARCH（m）模型。αi和βi分别称为ARCH参数和GARCH参数。

2 ARMA（p，q）模型的建立

2.1 数据选取

本文为了研究股票市场中股价的变化规律，选取了潍柴动力从2014年7月1日至2015年3月26日180天的收盘价数据作为训练样本集，2015年3月29日至31日的收盘价数据作为测试样本集，建立预测模型并用R实现。

2.2 时间序列的平稳性检验

图1为原始数据的时间序列分布。从图中可以看出从2014年7月开始，该序列呈明显的上升趋势，表明该股票价格上涨的势头很猛。我们对数据进行差分处理，得到差分后的时间序列（见图1），可以看出差分序列已经呈现相对平稳的趋势，只是在第110天前后有较大的波动。为了验证观察出的结果，我们分别对差分前后的序列做平稳性检验。

图1 时间序列分布

图2给出了差分前后的ACF图和PACF图，同样可以看出差分后的序列几乎不存在序列相关性。利用R软件，我们对一阶差分后的序列做平稳性检验，ADF检验统计量是-3.0584， 检验的p值是0.03391，表明拒绝单位根检验假设，该序列不存在显著的序列相关性，与图中呈现的结果一致。

2.3 均值方程的建立

利用R软件对ARMA模型定阶，AR模型阶数为9，结果如下：

根据程序建立的AR（9）模型，发现只有AR1的系数大于3倍的标准误，所以将模型改进为AR（1）模型，系数变为0.6184，AIC=-265.86。

改进后的系数依然大于3倍的标准误，但是AIC值变大了，所以此模型依然不是最佳模型，故尝试建立ARMA（p，q）模型。由于ACF图和PACF图在之后2阶的位置略微显著，所以对差分后的数据初步建立一个ARMA（1，2）的模型，系数分别为AR1=0.9548，MA1=-0.4488，MA2=-0.2388，AIC=-282.13。

其中MA2的参数不显著，将其去掉建立一个ARMA（1， 1）的模型，得到新的系数AR1=0.9271，MA1=-0.5897，AIC=-233.78。

此时模型的各项系数均显著，AIC虽然不是最小的，但是由模型的复杂程度考虑，可以接受，所以均值方程为：

rt=0.9271rt-1+αt-0.5897αt-1

3 ARCH效的检验及波动率方程的建立

3.1 ARCH效应的检验

本文使用R软件利用Ljung-Box统计量进行ARCH效应的检验，p值为0.002481，远远小于置信水平α（α=0.05），说明序列{αt2}存在条件异方差。

3.2 GARCH模型的建立

由于存在条件异方差，所以要建立波动率方程，而用ARCH模型建模的参数往往较高，所以选用GARCH模型。然而GARCH模型的阶不太容易确定，所以在实际应用中，只用到低阶的GARCH模型，本文选用GARCH（1，1）模型进行建模，各项系数t检验的结果如表2所示。

表2 ARMA（1，1）～GARCH（1，1）模型各项系数p值

AR1[]MA1[]OMEGA[]ALPHA1[]BETA1

通过输出结果可以看出，对差分序列建立ARMA（1， 1）～GARCH（1，1）模型，各项系数均显著，即通过t检验，此时AIC值为-2.5685。而标准化残差序列的Jarque-Bera检验（p值为0）和Shapiro-Wilk检验（p值为5.5816e-14）的p值都小于0.05，即未通过正态性检验。由图3可以看出，残差序列存在明显的厚尾现象，与前面分析的结论一致，即标准化残差序列不服从正态分布。

3.3 学生-t分布的GARCH模型的建立

为了处理非正态性，采用学生-t分布重新拟合，程序及结果如下：

通过表3结果可以看出，除常数项外，各项系数均显著，此时AIC为-3.0408，比正态分布模型的AIC要小，说明t分布的拟合模型更合适。此时拟合的ARMA（1，1）～GARCH（1，1）模型为：

3.4 预测

预测值与准确值的对比和精度如表4所示。

从表中可以看出，3日内的预测精度都较好，所以利用ARMA-GARCH模型做股票价格的短期预测对投资者来说还是有一定参考价值的。

4 结 论

文章首先对潍柴动力的日股票数据进行差分处理，再利用ARMA模型建模，并用GARCH模型解决了数据中出现的ARCH效应，得到的ARMA（1，1）～GARCH（1，1）模型对潍柴动力的日股票数据进行预测，精度较高，能够对进行股票投资、分析的决策提供一定的参考价值。

参考文献：

[1]RueyS.Tsay.金融时间序列分析[M].3版.王远林，王辉，潘家柱，译.北京：人民邮电出版社，2012.

[2]薛毅，陈丽萍.统计分析与R软件[M].北京：清华大学出版社，2007.

[3]David Ruppert.Statistics and Data Analysis for Financial Engineering[M].New York：Springer，2011.

[4]S立平，罗明志.基于ARIMA模型的黄金价格短期分析预测[J].财经科学，2011（1）.