小数的起源与发展

美国数学史家卡约利(F.Cajori)认为十进小数是近代数学史上关于计算基础方面的三大发明之一，所以，小数(文中“小数”均指“十进小数”)的出现是数学史上的一件大事，了解小数的发展历史于我们的数学教育是非常有益的.

我国是最早采用十进位值制计数的国家. 这种计数法使得我国古代在数值计算方面长期处于领先地位，小数也是我国最早发明并运用的，它经历了一个较长的发展历程.

小数是在实际度量和整数运算(如除法、开方)的需要中产生和发展起来的. 随着社会的发展，对度量精度的要求逐渐提高，反映在数学上，就是对数量表示的精确程度要求的提高. 开始，人类只能用整数表示数量，继而在所表示的数量的末尾附注“有余”、“有奇”或“强”、“弱”等字样，以表示该数量与实际量之间的差异，当需要用数来比较精确地表明这种差异的时候，就逐渐形成了两种表示方法：一种是用分数来表示不足整数的剩余部分；另一种是发展度量衡系统，采用更小的度量衡单位来表示有关的量. 我国古代较早地形成了占主流的十进制单位系统. 刘徽在注解《九章算术》时，长度的记法采用的单位是：丈、尺、寸、分、厘、毫、秒、忽，忽是最小的单位，在计算中他把忽做为单位，以下那些没有明确单位的数就是小数，刘徽称作“徽数”，或者把它舍去，或者化成简单分数，或者用十进分数表达. 刘徽是我国历史上目前所知最早应用小数的数学家. 可惜的是他没有对计数法稍加改进，把小数推到现代的水平，反而把十进分数作为一般的分数进行通分约分.

刘徽以后，有些天文学家和数学家从不同的角度也采用了这种科学的小数计数法. 南朝刘宋著名科学家何承天编著的《宋书》律历志部分，大量地记述了如

十一万八千二百九十六二十五(1148296.25)

九万四千三百五十七(94305.17)

这样的数，用附在整数位后面的小字来表明小数，这大概是数学史上最早的小数表示法了.

宋代的数学家秦九韶的《数书九章》中，不仅有大量的小数的运算，而且他对小数的记法也十分先进：用有关文字标明一个筹算数码的个位数，清楚地把整数部分和小数部分区分开来. 如在卷6“环田三积”的运算中，得出数“三十二万四千五百六步二分五厘”(324506.25步)，他在演算中用筹算记为

用“余”字明确表示该位以后皆是小数，“余”字无疑起着现代小数点同样的作用. 他还在卷12和卷13中使用了0.8，0.5等纯小数.

与秦九韶几乎同一个时代的数学家李冶在用天元术(我国古代求一元高次方程的方法)解决问题时，也很明确地表示在运算中所遇到的小数. 如方程348-248x-0.5x2=0记为

其中“ ”就是0.5. (天元术中在常数项旁边注一“太”字)

由此可见，宋元时期，我国在小数的记法上不仅指明了数的个位，区别出整数部分和小数部分，而且对于纯小数，还写上了我国特有的“”，表示得十分清楚. 由于我国古代筹算历来是对齐数位进行的，所以小数的运算也是不成为问题的. 因此可以说，我国的小数在宋元时期已发展到现代的水平了，与现在相比，仅是没采用小数点的记号罢了.

世界上，古印度的数学家也在开方得不到整数根时使用过十进分数. 十二世纪以后，欧洲数学家开始采用十进分数，但没有形成系统的方法，也不够普遍. 到了1585年，比利时的一位工程师和学者斯特文(S.Stevin)出版了一本仅有7页的小册子《论小数》(Ladisme)，详细地介绍了小数的意义，并且把小数推广到全部算术运算上去，从而对小数的推广、普及工作贡献很大. 斯特文表示小数的方法是在整数的最末一位数字后边加上一个圆圈，圈中写一个“0”字，以下每位小数之后都加一个圆圈，圈内依次写1，2，3，…，用以指明每个数字的位数. 例如35.914写作359①1②4③. 这种表示形式仍是很笨拙，特别是用于除法运算比较麻烦，于是创造合适的小数的记法提到了日程上来了. 有的数学家用一撇把小数部分分开，有的数学家在小数部分的数字下面划一横线，也有数学家用一垂直线将整数部分和小数部分间隔开，等等. 1593年，德国数学家克拉维斯(C.Clavius)的著作中首先出现了小数点，并在欧洲逐渐被采用.

小数点在我国最早出现在1723年的著作《数理精蕴》里，只是小数点是记在个位数的右上方的，与现在记法略有不同. 其实，《数理精蕴》中的记法并未引起我国学术界的注意，所以在较长的时间内，对于十进制小数的记法一致很混乱，直到十九世纪末才普遍采用了小数点. 至此，小数在我国获得了完全胜利.

参考文献

[1] 眭秋生.我国十进小数发展简史[J].南京师大学报(自然科学版).1985(2).91-95.

[2] [英]斯科特.数学史[M].南宁：广西师范大学出版社，2002.131-133.

[3] 刘纯.大哉言数[M].沈阳：辽宁教育出版社，1993.111-119，212-215.

[4] 张奠宙.数学史选讲[M].上海：上海科学技术出版社，1997.136.

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