构建函数模型 解决实际问题

利用函数构建数学模型解决实际问题是近几年中考的一个热点题型，是实践性、创新性很强的命题亮点，其解题步骤一般如下：

实际问题 构建数学模型（如函数等） 解答数学问题 回归实际问题，这也是解答此类问题的关键。

下面重点谈谈二次函数模型的构建。

例：（2009・湖北武汉）某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件，如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元），设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元。

（1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围。

（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润为多少元？

（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的月利润恰为2200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？

分析：本题旨在考查如何建立函数关系式，一元二次方程的基本解法及二次函数最值的确定。首先要将（1）中的函数关系式写出来（即建立函数模型）；然后再根据自变量的取值范围及二次函数的顶点求最大的月利润、售价及其范围。

解：（1）y=（210-10x）（50+x-40）

=-10x2+110x+2100（0

（2）y=-10（x-5.5）2+2402.5

因为a=-10

因为0

当x=5时，50+x=55，y=2400（元）

当x=6时，50+x=56，y=2400（元）

所以每件商品的售价定为55元或56元时，每个月的利润最大，最大的月利润为2400元。

（3）当y=2200时，-10x2+110x+2100=2200

解得：x1=1，x2=10

所以当x=1时，50+x=51，当x=10时，50+x=60

所以每件商品的售价定为51或60元时，每个月的利润为2200元。

当售价不低于51元且不高于60元且为整数时，每个月的利润不低于2200元。

点评：解答此类问题时应注意：理清题意，确定变量，建立函数模型；将已知条件代入函数模型，利用函数的性质解决问题；将获得的结果还原到实际问题中；当自变量的取值限制在一定范围内（或附带其他限制条件时），最值不一定在x=- 处取得，基于这一点，大家一定要注意。

（作者单位 四川省巴中二中）