关于范式求法解析

摘 要：离散数学中，主合取范式的目的在于讨论公式的主合取范式。该文中对主合取范式求解方法进一步推广，共给出4种求解方法。真值表法、推演法、用真值表法求的主合取范式、用推演法求的主析取范式等4种方法。

关键词：主范式 推演 方法

中图分类号：G64 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2012）12（c）-0-01

分析主合取范式求解方法需要先说明简单合取式，合取范式以及极大项定义。

定义1：简单合取式是仅由有限个命题变项或否定构成的合取式。

例如：

定义2：仅由有限个简单析取式构成的合取式称为合取范式。

设，为简单析取式，则是合取范式。

定义3：设命题公式中含个命题变项，如果的合取范式中的简单析取式全是极大项，则称该合取范式为主合取范式。

定义4：极大项是这样的简单析取式，在含个命题变项的简单析取式中，若每个命题变项与其否定不同时存在，而二者之一必出现且仅出现一次，且第个命题变项或其否定出现在左起的第位上。

求一个公式的主合取范式有直接求法和间接求法，直接求法与间接求法各有两种，4种方法并进行理论解析。

方法：1：

定理1.对于任意的公式，可按下面的方法求出其主合取范式：

（1）列出公式的真值表。

（2）真值表最后一列的左侧二进制数对应的极大项写出来。

证明：按照上面得出的极大项的合取范式为，下证就行。设中包含了个命题变元，而且由上面方法可得出个极大项。依照的顺序取公式中任一个解释，对应的二进制数转化为十进制数后记作M。

那么。

如果，则对应的极大项必为中的一个。此时由极大项性质。

如果，那么对应极大项肯定不在中，这时由极大项性质。

于是，且必为唯一主合取范式。

如果已知公式层次非常多时，列真值表带来麻烦，计算量加大。

方法2：

定理2.对于任意命题公式，其主合取范式可以由下面的推演法求得。设为命题公式的个命题变元。

（1）将命题公式化为任一合取范式。

（2）检查中每个简单析取式是否为极大项。如果是，就保留；如果不是关于的极大项，则中必然缺少某些命题变项，则

以上推演中，反复使用分配律、交换律、结合律、等幂律、互补律、零一律、同一律等算律，最终将简单析取式转化成若干个极大项的合取形式。对于中其他不是极大项的简单析取式，反复使用上述方法，化为若干个极大项的析取式，最后将公式运用一些运算律，整理为规范的主合取范式。

如果公式中命题变项较多，所有原子命题变项关系复杂而且包含不易化为合取范式的符号；或化为析取范式后，所缺命题变项较多，这种方法就会很麻烦，很容易出现错误，不建议运用。将公式化为合取范式后，所缺命题变项相比之下就会少很多，在比较接近主合取范式时，用此法可解决问题。

例求公式的主合取范式

解将记为A，先将其化为合取范式：

此范式不是主合取范式，出现的简单析取式不是极大项，例如在中没有出现 。因此用等值式凑上。

最后得到的主合取范式为的主范式，其中出现5个极大项，使得为T的真值赋值是这5个极大项对应真值赋值，而使为F，即：为真的真值赋值是其余3个极大项所对应真值赋值.因此主合取范式是剩下3个极大项的合取式。

方法3：

定理3.设公式含有个命题变元，公式是按定理2的方法得到的的主合取范式；则将公式中没有出现的关于极大项全合取出来为公式，即为的主合取范式。

证明：下证，已知。设为公式的个极大项，而是关于命题变项的另个极大项。设为公式的任一个解释，则为公式的任一解释。

如果，则解释必使的某些极大项真值为假；此时有。那么由极大项的性质（2），此解释一定使其他所有极大项为0，因此。所以。

如果，则解释不满足中任一个；于是有，由极大项性质，一定满足中某些极大项，因此，所以。综上。

特点：如果公式比公式形式更为简单，那么先求出，然后列出的真值表，最右列公式真值表中1对应的极大项写出来，可得到的主合取范式。如果已知的主合取范式，那么由此定理直接写出的主合取范式。

方法4：

定理4.对于命题公式，可按下面方法求出其主合取范式：a）用推演法求出命题公式的主合取范式；b）由，求出的主合取范式；c）把的主合取范式成求出来 ；

特点：（1）如果命题公式的主析取范式，使用推演法很容易求得，则使用此定理可非常方便地求出命题公式的主合取范式。（2） 由此定理可认为对于任一命题公式的主合取范式和主析取范式可相互转换，我们可根据实际情况自行选择。

参考文献

[1] 耿东云，屈婉玲，张立昂.离散数学[M].北京：清华大学出版社，1998：22―52

[2] 伲士健，蔡经球.离散数学[M].北京：科学出版社，2001.

[3] 严士健，王长沛.离散数学初步[M].北京：科学出版社，1996.

[4] 盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计[M].2版.北京：高等教育出版社，2000.

[5] 尹宝林，何自强，许光汉.离散数学（修订版）[M].北京：高等教育出版社，2004.

[6] 杜忠复，陈兆均.离散数学[M].北京：高等教育出版社，2004.

[7] 王树禾.离散数学引论（面向21世纪高等学校系列教材）[M].安徽：中国科学技术大学出版社，2001.

[8] 马振华.离散数学导引[M].北京：清华大学出版社，1993.