高考中的分段函数问题例释

函数是中学数学的核心内容，是高等数学的基础，必然也是高考的重要考查内容。分段函数（凡是把函数的定义域分成几个区间,在各个区间内,函数的解析式不一样的函数称为分段函数）在高中数学教材中所占比重不大，所以很多学生对分段函数的认识比较肤浅。但近几年在高考中又频繁考查。本文对近几年高考考查分段函数的有关问题，做一归纳和例释。

一、分段函数的定义域和值域，最值，求值

分段函数在定义域的不同部分有不同的对应法则。分段函数是一个函数，不能认为是多个函数，分段函数一般不是初等函数，可以说这个函数由若干段组建而成。分段函数的定义域是各段定义域的并集，分段函数的最值与值域问题应当分别讨论各段上的最值与值域，分段函数求值时不同范围的自变量代入的解析式也不相同。一般地对于f(f(x))的复合形式求值由里向外，一步一判断，再代入求值，

然后再综合。

例1 （2009辽宁卷）已知函数f（x）满足：x≥4，则f（x）= ；当x＜4时f（x）f（x+1），则f（2+log23）=

（A） （B） （C） （D）

解：3＜2＋log23＜4，所以f（2＋log23）=f（3＋log23）

且3＋log23＞4

f（2＋log23）=f（3＋log23）

=

故选A。

二、分段函数求解析式

求解析式时要对定义域划分成若干部分，分别求解。这时要用分类讨论思想。

例2 （2009上海卷）某算法的程序框如图所示，则输出量y与输入量x满足的关系式是_________。

解：根据算法的程序框图知，当x＞1时，

有y=x-2，当x＜1时有y=2x，所以，有分段函数：

三、分段函数的图象

作分段函数的图象要分开来画，注意在两段之间的端点处是虚点还是实点。

例3 （2008江西卷）函数 在区间 内的图象是 （ ）

解：当 时，此时，解析式

当 时， 此时，解析式y=2tanx；

四、分段函数的反函数

求分段函数的反函数应先分别求各段上的反函数，最后再合并成一个分段函数。分段函数的反函数仍是一个分段函数，是原分段函数各区间上的反函数的合并。

例4 （2008辽宁卷）函数 的反函数是____。

解略

五、分段函数与不等式

解决分段函数与不等式的问题要分别分段列出不等式，然后再求解。同时要注意x的范围。

例5 （2011辽宁卷）设函数f（x）= 则满足f（x）≤2的x的取值范围是（ ）

（A） [-1，2] （B） [0，2] （C） [1，+∞） （D） [0，+∞）

解：不等式等价于 或 解不等式组，可得 0≤x≤1或x＞1，即x≥0，故选D。

六、分段函数的连续性

考察分段函数的连续性往往要注意在分界点处的连续性，这时要用连续的定义。

例6 （2009四川卷）已知函数

在点x=2处连续，则常数a的值是（ ）

Ａ.２

Ｂ.３

Ｃ.４

Ｄ.５

解：由 ， ，

由函数的连续性在一点处的连续性的定义知 ，可得a=3。

故选B。

七、考查分段函数中的参数求值

结合分段函数各段的定义和所给已知条件，转化为方程问题求解。

例7 （2011陕西卷）设 ，若 ，

则a= 。

解：