浅谈“一题多解和一题多变”

学习过程不能离开思维活动，学习数学更是如此.数学是一门抽象性、逻辑性很强的学科，而学生思维能力的强弱，又常是衡量学生学习效果的重要标志之一.因此，教师在坚持传授知识的同时，应注重培养学生的数学思维能力以及重视解题思路和方法的指导，才是教学的关键。

中学的课堂本该是朝气蓬勃的，但就从我自生的经验以及和其他老师的交流中可以发现，中学数学教育存在着学生被动接受，老师填鸭式教学的重大问题.学生在课堂上缺乏活力，进而丧失学习的兴趣，陷入了恶性循环的怪圈.在这种情况下，作为教师，我们如何让学生感受数学学习的乐趣？如何为学生提供更好的发展平台，让学生积极主动地探索数学的奥秘？我个人认为的教学训练方法，如果能够很好利用，将有利于拓宽学生的解题思路，培养和发展学生的概括能力和创新能力，使学生灵活运用数学知识解决问题。

所谓“一题多解” ，就是同一个题目，让学生从各个不同的角度去思考问题，培养学生综合运用数学知识的能力.利用一题多解，能够训练学生发散思维.由于课程改革，课时减少，习题课大幅度减少.怎样才能高效率地利用习题课，更好地让学生掌握知识、培养学生创新思维能力？近几年来，老师们都在呼吁上习题课时，不求多讲，而求精讲.通过一题多解，引导学生就不同的角度、不同的方位、不同的观点分析思考同一问题，从而扩充思维的机遇，使学生不满足固有的方法，而求新法。

从以上来看，通过一题多解，能使学生从不同的角度去联想、横向沟通、多方探求，既较多运用了二次函数中的诸多知识点，巩固了新旧知识，又培养了学生求异发散思维和应用知识的能力. 当然前提是“一题多解”的展开需要扎实的基础和丰富的思考。

而一题多变，其实就是对某一问题的引申，发展和拓宽，通过增加问题背景，增大发散程度，使问题不局限于某一框架之中，不受定势思维的束缚.对一题变出的多个题目，学生通过多角度、多侧面的探求，使自己在变化的相互比较中，思维能力迅速提高.如变化题目形式，激发学习兴趣。

例2 已知圆的直径为13cm，如果直线和圆心的距离为（1）4.5cm（2）6.5cm（3）8cm，那么直线和圆有几个公共点？为什么？这是一道常规性题目，教学中，可将这个问题改造为下面问题：

变式：据气象部门预报，一台风中心在直径是60km的某城市正南50km处以北偏东30°方向前进，问该城市是否会遭受台风的袭击？并说明理由。

故该城市不会遭受台风的袭击。

通过这样的改造，常规性问题便具备了开放题目的形式，更加具备挑战性，当然此题目还可以进一步变换条件，让学生的思维继续朝纵深发展，如该城市遭台风袭击的时间有多长等等.

一题多变，能够培养学生的发散思维能力，“一题多变” 研究题目结构的变式， 将一题演变成多题，而题目实质不变，让学生解答这样的问题，能随时根据变化的情况思考，从中找出它们之间的区别和联系，以及特殊和一般的关系.使学生不仅能复习、回顾、综合应用所学的知识，而且使学生把所学的知识、技能、方法、技巧学牢、学活，培养思维的灵活性和解决问题的应变能力。

例3 有一批零件，由甲单独做需要12 小时，乙单独做需要10 小时，丙单独做需要15小时.如果三个人合做，多少小时可以完成？

解答后，要求学生再提出几个问题并解答，可能提出如下一些问题：

1 ） 甲单独做，每小时完成这批零件的几分之几？ 乙呢？ 丙呢？

2 ） 甲、乙合做多少小时可以做完？ 乙、丙合做呢？

3 ） 甲单独先做了3 小时，剩下的由乙、丙做，还要几小时做完？

4 ） 甲、乙先合做2 小时，再由丙单独做8 小时，能不能做完？

5 ） 甲、乙、丙合做4 小时，完成这批零件的几分之几？

通过这种训练，不仅使学生更深入地掌握工程问题的结构和解法，还可预防思维定势，同时也培养了发散思维能力.综上所述，在数学教学中，教师一定要充分利用一题多变，使学生在多角度、多侧面的探求中，充分发挥思维的主动性、能动性，从而培养其思维的广阔性和创造性.

当然，并不是倡导所有的题目都可以用于一题多解和一题多变，毕竟很多题目并不适合。例如，在新课堂教学中，就不能片面、盲目地追求对课本例习题的多解、多变，借以激发学生的学习热情，而忽视例题对本节所学概念的巩固作用，还应重视常规解法，不要一味追求巧解、妙解。

因此，这就需要教师要在选例上多下功夫，即要精心设计例题.选择一个有多解的典型问题，进行探究性学习的教学是比较重要的，一堂例题教学课成功与否的关键在于学生的参与的程度，而学生的参与程度与例题的选取有密切的关系.切不可为追求高质量的好题而选题过难，不切合学生的实际水平，也不可为追求学生的课堂的繁荣活跃景象而选题过易，不能激发起学生解题的欲望.因此教师在选题时，不仅要以复习的要点为目标还要兼顾学生的实际情况，只有这样才能提高学生学习的兴趣.有的时候”不妨放权”让学生也参与到选题中，“时常采用让学生改造习题的做法”也可以取得一定的成效。

一题多解与一题多变是教学中释放学生思维，锻炼学生能力的有效手段，一定要引起教师的重视，相信只要我们认真研究，努力学习各种方法，一定能够帮助教学.一题多解、一题多变关系着问题解决，也关系着学生更好的发展，总的来说，我只是简要分析了一题多解、一题多变这两种教学方法，强调了一下运用这些方法时应该注意的问题，分析还不够深入，希望老师们多批评指导。