操作建构:对儿童数学学习的深度耕犁

[摘要]数学教学中创造生活情境，引领学生动手做数学，可以让他们像数学家那样经历数学知识的“再创造”过程。走向学生多彩生活，可以让知识在情境中得到生动的诠释。走向生活化实践，可以让学生在模型建构中获得操作体验，在模型转换中获得知识理解。由此不断积累学生的数学活动经验，提升学生的数学素养。

[关键词]生活教学 模型建构 应用创新

中国古代谚语中有“百闻不如一见，百见不如一干”之说。儿童前行在复杂而深刻的数学学习探索之路上，需要经历对实际问题的理解、感悟，需要借助语言文字总结提炼出如数学概念、公式、算理等认知模型，并将此认知再次运用到灵活解决生活实际问题中去的“深入和浅出”的过程。如此丰富的学习体验，需要学生脑、眼、耳、口，尤其是手的积极参与。教学中，笔者努力为学生创造动手做数学、亲身去实践的探究学习环节，让他们在动手实践中体会到数学的应用价值，从而促进他们的学习兴趣和应用意识的提高，在主动建构中走向创新。

一、走向生活：在问题情境中诠释

荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔在他《作为教育任务的数学》一书中说：数学教学应该从数学与它所依附的学生亲身体验的现实之间去寻找联系。只有源于现实关系、寓于现实关系的数学，才能让W生学会从生活实际中提出问题、解决问题，思考如何将数学更好地应用于生活。日常教学中，我们的课堂组织，应该密切联系生活，带着学生走向生活，在具体情境中诠释数学，形成认知。如在学习了“32人跳绳问题”后，笔者用多媒体呈现全校学生分布于操场的远景图，让学生思考：如果全校的学生都来进行跳绳活动，每6人一组，分到最后可能会剩下几人？设置此问题的目的是为了让学生了解并巩固“余数要比除数小”的规则。一开始面对这一问题时，学生们纯粹是跟着感觉天马行空，有的说可能会剩下100人，有的说可能会剩下399人，还有的说可能会剩下80人。这时笔者适时地提出让学生结合学校三（1）班跳绳时，每6人一组，分到最后剩下的人数情况，同时组织四人小组讨论。经过小组讨论，他们的意见逐渐趋向统一，“余数要比除数小”的认知在结合生活的具体问题情境思考和操作实验中进一步得到诠释、理解和巩固。

将学生鲜活的生活嵌入数学教学，可以使“陌生的数学”变得熟悉、亲切。如果我们能通过“把食物放在小狗前面不远处，小狗箭似的飞奔过去，跑出的一定是一条直线”，让学生形象地掌握几何学中“两点之间，线段最短”；如果我们能通过“钓鱼中浮标沉浮的状态反映鱼吃不吃饵的状态”，让学生建构数学中非常生动的概念――“相关联的量”；如果我们能让学生从“乌鸦喝水”的故事里理解“体积”概念，从“曹冲称象”的故事里形成“转化”思想；如果我们的学生在“山上有座庙，庙里有个小和尚，小和尚说‘山上有座庙，庙里有个小和尚’……”的故事里明白“循环”，在足球比赛时运动员的“下底传中”认识“角”……，那么，他们也必将会在“理发师不给自己理发”的事实里欣赏到罗素悖论的奥秘！

二、模型建构：在操作体验中建构

数学源于生活且高于生活。数学模型是利用数学语言建构起来的模拟现实的模型。建模的目的，不光是让学生记住有这么一回事，更为重要的是让学生能够产生用建立起的数学模型去解决各种问题的意识和方法。一方面，数学模型建基于数学原型，数学模型是生活原型、数学原型的抽象的、简化的结构概括与描述；另一方面，建立在生活原型、数学原型基础上的数学模型应该具有充分的解释力，能够用来描述自然现象，解决实际问题。由此，在学生数学教学中，教师应该从学生的经验出发，让学生经历现实经验的抽象化历程。运用所学知识尝试解决真实生活问题，才是检验学生数学应用能力强弱的形式之一。教学中我们安排的“巩固练习”便是实现这一目标的做法。例如，在带领学生认识“立体图形”时，笔者设计了一系列的操作实验，让学生在实践应用中完成了数学模型的建构。

1.展示立体图形，看一看，摸一摸

因为一年级学生们在上学期已经认识了长方体、正方体和圆柱这3种立体图形，所以让学生们和这三种立体图形打招呼，可以迅速让他们明确“体”，为后续“面”的学习做了铺垫。

2.摸一摸，画一画.认识“面”

让学生们一起拿出长方体，像老师这样摸一摸面，感受平平、滑滑的感觉，再启发思考：如果把这个面请下来，和我们面对面地玩一玩，那就好了，你有什么好方法？通过摸一摸、画一画、比一比等操作，让学生感知“面”是从“体”得到的，让学生明白“体”和“面”之间的关系。

3.变换方向识记“形”

把三角形、圆、正方形，正着、斜着、倒着、反着贴，让学生体会虽然位置发生了变化，仍然还是原来的形。

4.变大变小说说“名”

课件出示一个正方形，变小，变大，旋转，拉长变瘦，放大变胖，甚至做剪裁，再在教室里找大小不一的各种正方形、长方形、三角形等，让学生体会常见平面图形的本质特征。

苏教版小学数学教材上安排有许多“想一想”“做一做”，这为学生提供了大量的创新、实践的机会，学生可通过自己的积极思维主动去探求答案，掌握获取知识的方法。教学中，凡是学生能想到的，决不提示；凡是学生能自己解决的，决不代替，给学生留有足够的独立思考、实践的空间。因为想的过程、做的过程比结果要珍贵得多。如上所述，教材和生活给了学生对各种立体图形的直观感受，笔者以学生对立体图形的认识为知识的生长点，让学生通过想、猜、摸、画等方法，体会“面在体上”。整个认知从具体到抽象，从实物到模型，从整体到局部，以动手操作为主线，让学生在逐步操作中，加深对平面图形的认识，积累活动经验，发展空间观念。

三、模型转换：在比较归纳中理解

笛卡尔和莱布尼兹认为：知识不是从上到下线性演绎的纯粹理性，而是理性与经验的循环。康德认为：没有经验的概念是空洞的，没有概念的经验是不能构成知识的。数学教学中，教师要有意识地组织学生对有实验操作内容的教材文本或学习材料动手进行操作，在真切的体验过程中，来回行走于模型与生活问题之间，这样的来回转换，对于学生们形成比较归纳演绎的能力大有裨益，同时也有利于他们对知识的正确理解。例如，教学《认识公顷》，为了让学生体验1公顷的实际大小，建立1公顷的表象，笔者先组织了28位身高1.4米左右的小学生手拉手围成一个正方形，然后让他们通过计算知道这样的正方形的面积大约是100平方米，而1公顷里有100个这样的正方形；接着组织学生去量操场的长和宽，算出学校的面积。学生在不停地小组测量、计算中，逐步形成了“1公顷”的具体认知，对“1公顷”的概念也有了深刻的了解。

“数学模型”为学生的数学学习提供了有益的支撑，学生正是在对28人的手拉手的正方形大小的直观感知中建立了100平方米的表象，然后借助想象，形成了对“1公顷”概念的整体认知。这里还有从"100平方米”到“1公顷”的模型转换，在不同模型转换中又让学生拥有了应用数学的机会，培养了学生的创造精神。

瑞士著名心理学家皮亚杰说过：“智慧自动作发端”，学生的认知规律正是“从直观的动作思维到具体的形象思维，最后达到抽象的逻辑思维”的。生活是学生数学学习的根基和起点，可以帮助学生获得更多、更直接的感性经验。经过对表象的比较、分析与综合，就可逐渐概括、抽象为一定的数学概念、数量关系等。这是一个由具体到抽象、从感性认识到理性认识、由表层到深层的认知推进过程。只有学生在亲身实践中，经历数学知识的诞生历程，数学的知识才能具有生长力、生发力和生成力。动手“做数学”的实践活动是苏教版数学教材主要的特色和亮点，让我们积极带动学生真正实践起来，促进学生数学意识、数学品质、数学素养的大提升。