故事中的数学 数学中的故事

数学证明中常常采用直接证法，由已知到结论，顺理成章。然而对于间接证法的反证法，大多数同学不能深刻理解，难以走出直接证法的局限。其实，反证法可以解决直接证法难以解决的问题。正面强攻不成，迂回包抄获胜。

反证法的基本思想是：对于相互矛盾的两个判断，如果其中一个错了，那么另一个一定是对的，这是逻辑学上的排中律，不能同假，必有一真。据此，要证明一个数学命题的成立，只要证明其反面是错误的即可。

在教学中，为方便学生理解反证法，我用几何命题的形式改编了几则故事，收到了良好的效果，理解透彻、记忆深刻、激发兴趣。

故事一：道旁苦李

王戎七岁的时候，和小朋友们一道玩耍，看见路边有株李树，结满了熟透的李子，枝条都快被压断了。那些小朋友争先恐后地跑去摘。只有王戎没有动。有人问他为什么不去摘李子，王戎回答说：“这一定是苦李子。”摘来一尝，果然是这样。

故事到这，我用几何命题的形式改编如下：已知：路边李子树上结满了熟透的李子。求证：李子一定是苦的。

此时，悬念产生，让学生讨论，找出原因。

答案揭晓：证明：假设李子是甜的。那么这树长在大路边上，熟透的李子早被路人摘光了。可是“结满了熟透的李子，枝条都快被压断了。”二者相矛盾。

所以，李子是苦的。

这个故事写王戎小时候，善于动脑筋，能根据有关现象进行反正的推理判断。他是一个聪明的孩子。

故事二：我“活”了

古代有一贤臣被奸臣坑害，判了死罪，皇上念他过去有功，用抽纸片的形式决定他的命运，用两张纸片，一张写“活”字，一张写“死”字，抽到“活”字可赦免，而奸臣歹毒，命人在两张纸片上都写上“死”字。诡计被贤臣的朋友知道，告诉了贤臣。贤臣想了想，高兴地说：“我活了！”

贤臣据此做了一道几何题：已知：两张写有“死”字的纸片，我抽取一张。求证：我“活”了。至此，疑团顿生，让学生开动脑筋，自主解决或讨论解决。

答案揭晓：证明：假设我“死”了。那么没有抽到的纸片一定写“活”字。可是因为两张都是“死”字，所以没有抽到的纸片一定是“死”字。此二者矛盾。所以我“活”了。

处决前抽纸片开始了，只见他抽出一张纸片谁也不让看就吞下了肚，监斩官只好看剩下的纸片，剩下的字无疑是个“死”字，于是贤臣被赦免了。

贤臣为什么能死里逃生？贤臣巧妙运用了反证法。“死”字的反面是“活”字。反正法也是一种逆向思维，习惯上是要看抽到的纸片，但是我偏要让你看没有抽到的纸片。

故事三：聪明的女儿

3岁的女儿不听话，妈妈说：“再不听话把你扔出去，再捡一个回来。”

小女孩调皮地说：“你肯定不能把我扔出去。”接着又说了一句话，母亲哑口无言。

故事用几何命题的形式改编如下：

已知：把不听话的孩子扔出去，再捡一个孩子回来。

求证：不听话也不能扔出去。

为什么？小女孩接下来说的话是什么？让学生想一想、猜一猜、说一说。

答案揭晓：证明：假设不听话的孩子就扔出去。那么扔出去的孩子都是不听话的。所以捡回来的孩子也是不听话的。“扔出去不听话的”“捡回来不听话的”二者矛盾。所以不听话也不能扔出去。小女孩接下来说的话应该是：“你捡回来的孩子也一定是不听话的。”三岁小孩就如此聪明，会用反正的思想驳倒母亲。我们要努力学习了。

把几则故事改变成几何命题形式并给予反正法的证明，使学生通过事实形象地理解了反证法的思想。再结合例题归纳出反证法的基本步骤：（1）反设――假设原命题的反面成立。（2）归谬――从反设开始推理，得出矛盾结果。可以与已知或事实或定理矛盾。（3）存真――由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立。

反证法能提高学生的演绎推理能力，丰富学生的解题思路，尤其在后续的学习中起着不可忽视的作用，虽然在初中教材中所占篇幅很少，但还是要学，不应轻视。数学的教学不要只顾眼前的“考点”，而要打造出有后进的学生。数学强，学生强，求学的路就长。