分数概念多元表征的认知模型的解读与教学

摘要：从整数过渡到分数的学习，是一次学生思维层次的飞跃，文章通过对分数这一概念表征的学习调研，理清了分数概念的面积模型、集合模型、数轴模型、符号模型、属种模型的多元表征。从四个方面不断完善数学概念多元表征的认知模型和策略：把握真度，立足本质属性理解概念意义；深入深度，丰富概念原型支撑概念本质；产生温度，把握学习心理建构概念意象；触摸高度，抽象概括图式建立心理表征。

关键词：概念表征；模型；属性；意向

中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1671-0568（2012）25-0117-03

一

表征就是利用某一种形式，将事物或者想法重新表现出来，以达成沟通的目的。而数学学习应该要注重不同表征系统之间的连结，并且能利用多样化的表征方式来代表数学概念。从整数过渡到分数的学习，是一次学生思维层次的飞跃，也是未来学习更高级知识的必经之路。 在小学阶段主要学习“行为的分数”。教材中往往以学生熟悉的日常事物与活动为模型，建立分数的概念。例如，把一个月饼平均分为两份，其中的一份是1/2，把一张纸平均分为四份，其中的一份是1/4。这仅仅是从面积模型的角度来理解分数，学生理解分数还可以借助于多种模型。

1.分数的面积模型表征。学生最早接触分数概念及其术语可能与空间有关，而且更多是三维的，而不是二维的，如半杯牛奶、半个苹果……学生最早是通过“部分—整体”来认识分数的。因此，在教材中分数概念的引入是通过平均分某个饼、蛋糕、或者正方形、圆、长方形，取其中的一份或几份（涂上阴影）来认识分数的，这种直观模型即为分数的面积模型。

对于平均分，学生有丰富的经验。学生这些丰富的经验为他们认识分数的面积模型，或者从“部分—整体”的角度认识分数打下了坚实的基础。对于分数的面积模型，在学习过程中学生经常会遇到一些困难，如：能否认识到图形面积相等的必要性，即“整体1”是否一样大、是否习惯于由图形语言到符号语言表达的转换、从表示多于一个“整体”的图形中确定谁作为“整体”。

2.分数的集合模型表征。分数的集合模型需要学生有更高程度的抽象能力，其核心是把“多个”看作“整体1”。其优点是有利于把比较抽象的数值形式表示为“比”与“百分比”。J.Martin总结出“整体1”可以分为以下六种情况（以1／5为例）：

（1）1个物体，例如：一个“圆形”，平均分为5份，取其中的1份；

（2）5个物体，例如：“5块糖”，其中的“1块”占“5块”的1／5；

（3）5个以上但是5的倍数，例如：“15块糖”，平均分为5份，取其中的1份；

（4）比1个多但比5少，例如：“2块巧克力”作为“整体”；

（5）比5个多但不能被5整除，例如：“7根香蕉”作为“整体”；

（6）一个单独物体的一部分的五分之一，例如：一米的四分之三的五分之一。

3.分数的数轴模型表征。数轴上点与数的对应是一种数形结合的思想，数轴学习的过程，就是沟通数与直线的联系的过程。数轴最初始的原型是温度计和行程路线，首先由温度计、行程路线图提炼出数轴的几何结构，然后建立分数、小数、整数以及今后学习的负数与直线上点的对应，这就得出数轴。而这个数轴作为桥梁就把看上去无关的两个无穷集合建立起联系，一方面数的性质可以直观地表示在图形上，另一方面在图形上又可以形象而具体地研究数的性质。

4.分数的符号模型表征。符号化思维是学生思维走向高层次的一个方向。离散量介于图形和符号之间，是学生符号化思维的一个有效平台。小学六年级学生不仅要正确进行分数四则运算，还要能借助于表征对运算过程进行符号化的思考，使得符号化思维水平与概念的习得水平处于相互匹配的统一层次。分数的概念关涉学生对于整体与部分之间关系的认识，反映的是一种“关系认识”的思维方式，所以分数概念较之整数概念来说更为抽象。这种整体与部分的关系认识，又可以分为两个认识层次：第一个认识层次，是单个整体与部分的具体关系；第二个认识层次，是多个整体与部分的抽象关系。即是指把多个的物质实体看作一个抽象整体，把这个抽象整体平均分成几份，其中的一份是这个抽象整体的几分之一。

5.分数的属种模型表征。让学生理解“分数是数”：它是连续量分割的结果：这是从分数产生的过程来理解分数概念。在现实中，从数量的角度看，有两种不同的量：连续量，如重量、长度、面积、体积等；另一种是不连续量，如人数、东西个数等。在用度量单位度量不连续量时，其结果是整数。而度量连续量时，其结果就不一定是整数。这时，就需要把度量单位分割成几等份，连续度量，因而产生了分数。分数既然是数，它也具有整数的一切性质，如比较大小、进行运算等。同时分数还具有整数没有的性质，如在整数范围内3÷5是不能计算的，而引进分数后，除数不为0的一切除法都可以计算。因此，计算的范围扩大了。另外，由于整数可以看成为分母为1的分数，这样，我们对两个属种的概念就有了进一步的理解。

二

在初步认识分数的教学中，最容易出现把分数仅仅与几何图形联系建立意义的认识局限。所以教师在教学中要注意拓展学生的视野和思维，努力沟通分数表征与现实生活的联系，使学生对几分之一的丰富内涵有充分的认识和体验。注意引导学生在大量材料感知的基础上进行归纳概括和提炼抽象。

1.把握真度，立足本质属性理解概念意义。概念是客观事物本质属性在人脑中的反映。教师要充分借助教材中呈现的问题情境，让学生充分投入其中，开展自主的数学操作、观察活动，使他们有机会经历分数概念产生的过程。在认识几分之一（三年级上册）时，教师让学生通过平均分圆片、长方形、正方形纸等，并涂一涂，在这样的活动中，学生不断地具体感知这些活动的共同之处，即都是把一个物体平均分成若干份，其中的一份就是这个物体的几分之一。当这样的操作活动不断地被学生个体通过具体实物或在头脑中重复运算时，就会逐渐形成自动化，内化、凝聚成为一种固定的内部构造，即“对象”。