过圆上一点的切线方程的变式及引申

摘 要：众所周知，圆x2+y2=r2上一点M（x0，y0）的切线方程为x0x+y0y=r2，它有着很优美的结构，本文将对它进行变式和引申，以探求其他更多优美的结论。

关键词：圆；切线方程；斜率；变式；引申

人教版（旧）高二数学（上）有这样一个例题：已知圆的方程为x2+y2=r2，求经过该圆上一点M（x0，y0）的切线方程。此例题较容易解决，笔者在教这个例题时，除了让学生探究多种解题方法外，更多的是关注它的优美结论：x0x+y0y=r2，于是在期末复习时，再次拿它出来“说事”，主要是对题目进行变式及引申，让学生明白数学的知识不是孤立的，是辩证统一的。

一、对题目进行变式

变式1：设点M（x0，y0）在圆C：x2+y2=r2外，求过点M的圆C的切线方程。

思路1：设出切线的斜率，用判别式法（斜率不存在时要单独考虑）；

思路2：设出切线的斜率，用圆心到切线的距离等于半径（斜率不存在时要单独考虑）；

思路3：利用几何性质通过特殊三角形使切线的斜率获解。

变式2：设点M（x0，y0）在圆C：x2+y2=r2外，过点M的圆C的两条切线与圆C分别切于A，B，求直线AB的方程。

思路1：设A（x1，y1），B（x2，y2）则由例题结论可知过A点的切线方程为x1x+y1y=r2，过B点的切线方程为x2x+y2y=r2

由两切线均过点M得x1x0+y1y0=r2 （1）x2x0+y2y0=r2 （2）

由（1）说明点（x1，y1）在直线x0x+y0y=r2上，

由（2）说明点（x2，y2）在直线x0x+y0y=r2上，

所以直线AB的方程为x0x+y0y=r2

这个结论居然和例题的结论一样，太神奇了！

思路2：构造辅助圆，将圆的切点所在直线方程问题转化为两圆公共弦所在直线方程问题，而求两圆公共弦所在直线方程时，只需将两圆方程的二次项系数化成相同，直接做差可得公共弦所在直线方程。

注：辅助圆以点M为圆心，MA为半径，MA2=MO2-AO2=x20+y20-r2

所以辅助圆M方程为（x-x0）2+（y-y0）2=x20+y20-r2

由x2+y2=r2 （1）（x-x0）2+（y-y0）2=x20+y20-r2 （2）

（1）-（2）整理后即可得到直线AB的方程为x0x+y0y=r2

二、对题目进行引申

中心不在原点的椭圆、双曲线上一点的切线方程又是怎么呢？经过探究也发现了其中的规律，具有统一的、优美的表达式。因为中心不在原点的椭圆、双曲线在高中阶段不做要求，所以在此不展开分析了。

参考文献：

刘志修.试论过圆、椭圆、双曲线上一点的切线方程的统一性.《中学数学研究》2007.1

（作者单位：北京八中北海分校（北海二中））