时间：2022-08-14 07:25:15
摘 要 过圆x-a■+y-b■=r■外一点px■，y■作圆的切线有两条，求切线方程可从五个方面入手：相切的定义；相切的几何意义；转化与化归；三角参数；坐标平移转化。
关键词 圆；切线；转化；化归；参数；平移
众所周知过已知圆圆上一点有且只有一条切线，而且可以利用公式直接写切线方程。那么，过圆x-a■+y-b■=r■ 外一点 px■，y■作圆的切线有两条，如何求切线方程呢？下面以一道习题来分析：
例：从点 p-2，-1向圆x■+y■-4x+2y+1=0引切线，求切点坐标与切线方程。
解法一：判别式法。不妨设切线的斜率存在，记作k ，
那么过点 p-2，-1 的直线方程为：y+1=kx+2，
由y+1=kx+2 x■-4x+y+1■=0，得1+k■x■+4k■-1x+4k■=0
由直线与圆相切有，=16k■-1-16k■1+k■=0，解得k=±■
此时切点的横坐标为x=-■=1，将x=1代入圆的方程，解得y=-1+■，
即切点坐标为1，-1+■，1，-1-■ 。
将k=±■代入，得两条切线方程为：x-■y+2-■=0，x+■y+2+■=0。
点评：此法从相切的定义得到（有且只有一个公共点）。但要注意，若求得的k值只有一个，再验证斜率不存在且过点p-2，-1的直线是否为切线。
解法二：几何法。圆的方程化为x-2■+y+1■=4，圆心C（2，-1）。设切线的斜率为k （存在时），则过点p-2，-1的直线方程为y+1=kx+2，即y-kx-2k+1=0。由平面几何知识，圆心 C（2，-1）到切线的距离等于圆半径，所以d=■=2。解得k=±■。将k=±■代入切线方程，得两条切线方程为 x-■y+2-■=0，x+■y+2+■=0。将切线方程y+1=±■（x+2） 代入圆的方程，得x-2■+■x+2■=4，解得x=1，再代入切线方程，得y=-1±■ ，所以切点坐标为-1，-1+■，1，-1-■。
点评：利用相切的几何意义（圆心到直线距离等于半径）。若求得的 值只有一个，再验证斜率不存在且过点 p-2，-1的直线是否为切线。就求切线方程而言，较解法一可减少运算量，值得重视。当然法一，法二都是我们最容易想到的方法。
解法三：转化与化归法。设切点坐标为A（x1，y1），为圆上一点那么利用公式得过点A的圆的切线方程为：x■x+y■y-2x+x■+y+y■+1=0
因为切线过点p-2，-1，所以-2x■-y■+4-2x■-1+y■+1=0，解得x1=1，
代入圆的方程，解得y1=-1+■或 y1=-1-■。
所以切点坐标为1，-1+■，1，-1-■ ，
所以切线方程为：x-■y+2-■=0或x+■y+2+■=0。
解法四：参数法。圆的方程化为x-2■+y+1■=4，故可设切点坐标为2+2cos？兹，-1+2sin？兹，？兹∈[0，2？仔）， 则切线方程为 x-2·2cos？兹+y+1·2sin？兹=4。因为切线过点p-2，-1，代入切线方程，得-8cos？兹=4 ，所以cos？兹=-■，sin？兹=±■。所以切点坐标为1，-1+■，1，-1-■，切线方程为 x-■y+2-■=0或 x+■y+2+■=0。
点评：若出Acos？兹+Bsin？兹=C 型，可将Acos？兹移到右边，再两边平方求解。
解法五：平移转化法。圆的方程化为x-2■+y+1■=4，将圆和点 p-2，-1同时按向量■=（-2，1）平移（x'=x-2，y'=y+1，从而 ，x=x'+2，y=y'-1），得到的图形所对应的方程为 x2+y2=4（改写后）和点p（-4，0）。设此时切点坐标为（x0，y0），则切线方程为xx■+yy■=4，因其过点p（-4，0），所以-4x■=4，x■=-1 。将x■=-1代入圆的方程 x2+y2=4解得y0=±■，所以切线方程为x±■y+4=0 （即切线方程为x'±■y'+4=0 ），切点为-1，±■。再将所得的切线和切点按向量-■=（2，-1）平移，得到所要求的切点坐标为1，-1±■ ，切线方程为x-2 ±■y+1+4=0，即切点坐标为1，-1+■，1，-1-■，切线方程为x-■y+2-■=0 或x+■y+2+■=0 。
点评：利用平移转化法，变复杂为简单，减少了运算。但要确保平移的正确性和熟练运用。
一道习题，五种方法。五种方法就是五种不同的数学思维的体现。一道习题在手，若能打开思维的窗扉，从各种角度去考虑，寻求不同的解题策略，对提高我们的解题能力大有帮助，解题后认真总结，摸索规律，举一反三，其收益将更为明显。