浅谈过圆上一点求圆的切线的方法

近日在带领学生复习《圆的方程》一章时，遇到这样一个问题：已知圆的方程为x2+y2=25，求过点（3，4）的圆的切线方程 。本人通过一种简易的方法通过口算即得出答案：3x+4y-25=0.求解圆的切线方程的问题，是高考的考点，也是平时学习的重点，求圆的切线过程比较复杂，运算麻烦，所以容易出错，是学生比较头疼的一个问题，在求圆的切线问题中有两种情况，一种是求过圆外一点求圆的切线，另一种种情况是求经过圆上一点求圆的切线方程问题，本人对第二种情况进行了归纳、推导，得出快速求解的方法，此方法针对高三学生应对高考中此类问题有实际意义，故介绍如下。

设圆的标准方程为（x-a）2+（y-b）2=r2，经过圆上一点（x0，y0）的切线方程是什么？，我们把圆的方程写成（x-a）（x-a）+（y-b） （y-b）=r2形式，把其中一个x换成 x0，一个y换成y0，则得到（x0-a）（x-a）+（ y0-b） （y-b）=r2，然后整理成直线方程的一般形式即得到所求切线的方程。此法在学生高考中快速解决求圆上点的切线问题提供了一个途径，学生可应用此法快速解决选择题，填空题，或者用它来检验分析解答题的答案是否正确。此方法的特点是速度快，不易错，容易上手。

下面就上面介绍的方法的理论依据进行推导：先从简单情况入手，当a=0，b=0时，那么圆的圆心在原点上，圆的方程为x2+y2= r2，设点（x0，y0）在圆上，如上图所示，那么经过这个点的直径与切线互相垂直，两者斜率互为负倒数即K直径=y0/ x0，

K切线=—x 0/ y 0，又因为切线过点（x0，y0），根据点斜式直线方程得：

（y— y0）=—x 0/ y 0（x— x0），整理得方程x0 x+ y0 y=x02+ y 02，由于点（x0，y0）在圆上且圆心在原点，所以x02+ y 02=r2，由此我们得到所求切线方程为x0 x+ y0 y=r2，即我们所讨论的方法的特殊形式（圆心在原点）。在此基础上，我们又推想圆心不在原点的圆的切线方程的推导方法，设圆的方程为（x-a）2+（y-b）2=r2，求经过圆上一点（x0，y0）的切线方程，我们以（a，b）为坐标原点建立新坐标系x‘o‘y‘，新坐标系与原坐标系的坐标之间关系为x‘=x-a，y‘=y-b，则（x0，y0）在新坐标系中的坐标为（x0‘，y0‘），x0‘=x0-a，y0‘=y0-b，在新坐标系中圆的方程为x‘2+y‘2= r2，根据第一种情况推导出结论：经过（x0‘，y0‘）点的切线方程为x0‘x‘+y0‘y‘= r2，然后根据坐标之间的关系转换到原坐标系方程为（x0-a）（x-a）+（y0-b） （y-b）=r2。

以上推导方法的原理为过圆上点的切线与过该点的直径互相垂直，通过垂直直线间的斜率关系K1K2=-1可以得到切线的斜率，然后应用点斜式求解直线方程，第二种情况是在第一种情况的基础上，借助坐标变换得出的，在新坐标系中构建出第一种情况的模型，然后利用坐标变换还原到原来的坐标系中，这种方法化简了推导过程，解决了运算的困难，取得深入浅出的效果。

针对有些问题中出现的圆的一般方程，笔者建议先对圆的一般方程进行配方，得出标准方程后再进行运算。

最后要说明的是，在介绍此方法时，不能只给学生结论而不给推导过程，要让学生知其然知其所以然，带动学生思维发展，否则只能会固化学生思维，使学生失去创造力，对学生未来的发展有害无益。此方法的介绍会激发学生学习数学的兴趣，鼓舞学生学会独自总结数学规律的方法，促进学生的行动，在此过程中培养学生的多种能力，如分析、归纳、运算、推理等。

由于本人数学水平有限，在撰写本文过程中可能有不当之处，权当抛砖引玉，敬请读者不吝指正。